*推斷：如圖（1），在正方形ABCD中，點E，Q分別在邊BC，AB上，DQ⊥AE於點O，點G，F分別在邊CD...

問題詳情：

*推斷：如圖（1），在正方形ABCD中，點E，Q分別在邊BC，AB上，DQ⊥AE於點O，點G，F分別在邊CD，AB上，GF⊥AE．

①求*：DQ＝AE；

②推斷：的值為　   　；

（2）類比探究：如圖（2），在矩形ABCD中，＝k（k為常數）．將矩形ABCD沿GF摺疊，使點A落在BC邊上的點E處，得到四邊形FEPG，EP交CD於點H，連接AE交GF於點O．試探究GF與AE之間的數量關係，並説明理由；

（3）拓展應用：在（2）的條件下，連接CP，當k＝時，若tan∠CGP＝，GF＝2，求CP的長．

【回答】

（1）①*：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ．

∴∠QAO+∠OAD＝90°．

∵AE⊥DH，

∴∠ADO+∠OAD＝90°．

∴∠QAO＝∠ADO．

∴△ABE≌△DAQ（ASA），

∴AE＝DQ．

②解：結論：＝1．

理由：∵DQ⊥AE，FG⊥AE，

∴DQ∥FG，

∵FQ∥DG，

∴四邊形DQFG是平行四邊形，

∴FG＝DQ，

∵AE＝DQ，

∴FG＝AE，

∴＝1．

故*為1．

（2）解：結論：＝k．

理由：如圖2中，作GM⊥AB於M．

∵AE⊥GF，

∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，

∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，

∴∠BAE＝∠FGM，

∴△ABE∽△GMF，

∴＝，

∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，

∴四邊形AMGD是矩形，

∴GM＝AD，

∴＝＝＝k．

（3）解：如圖2﹣1中，作PM⊥BC交BC的延長線於M．

∵FB∥GC，FE∥GP，

∴∠CGP＝∠BFE，

∴tan∠CGP＝tan∠BFE＝＝，

∴可以假設BE＝3k，BF＝4k，EF＝AF＝5k，

∵＝，FG＝2，

∴AE＝3，

∴（3k）2+（9k）2＝（3）2，

∴K＝1或﹣1（捨棄），

∴BE＝3，AB＝9，

∵BC：AB＝2：3，

∴BC＝6，

∴BE＝CE＝3，AD＝PE＝BC＝6，

∵∠BEF＝∠FEP＝∠PME＝90°，

∴∠FEB+∠PEM＝90°，∠PEM+∠EPM＝90°，

∴∠FEB＝∠EPM，

∴△FBE∽△EMP，

∴＝＝，

∴＝＝，

∴EM＝，PM＝，

∴CM＝EM＝EC＝﹣3＝，

∴PC＝＝．

知識點：各地中考

題型：綜合題