⊙O是△ABC的外接圓,AB是直徑,過的中點P作⊙O的直徑PG,與弦BC相交於點D,連接AG、CP、PB.(1...
問題詳情:
⊙O是△ABC的外接圓,AB是直徑,過的中點P作⊙O的直徑PG,與弦BC相交於點D,連接AG、CP、PB.
(1)如圖1,求*:AG=CP;
(2)如圖2,過點P作AB的垂線,垂足為點H,連接DH,求*:DH∥AG;
(3)如圖3,連接PA,延長HD分別與PA、PC相交於點K、F,已知FK=2,△ODH的面積為2,求AC的長.
【回答】
【考點】MR:圓的綜合題.
【分析】(1)利用等弧所對的圓周角相等即可求解;
(2)利用等弧所對的圓周角相等,得到角相等∠APG=∠CAP,判斷出△BOD≌△POH,再得到角相等,從而判斷出線平行;
(3)由三角形相似,得出比例式,△HON∽△CAM,,再判斷出四邊形CDHM是平行四邊形,最後經過計算即可求解.
【解答】(1)*:∵過的中點P作⊙O的直徑PG,
∴CP=PB,
∵AB,PG是相交的直徑,
∴AG=PB,
∴AG=CP;
(2)*:如圖 2,連接BG
∵AB、PG都是⊙O的直徑,
∴四邊形AGBP是矩形,
∴AG∥PB,AG=PB,
∵P是弧BC的中點,
∴PC=BC=AG,
∴弧AG=弧CP,
∴∠APG=∠CAP,
∴AC∥PG,
∴PG⊥BC,
∵PH⊥AB,
∴∠BOD=90°=∠POH,
在△BOD和△POH中,
,
∴△BOD≌△POH,
∴OD=OH,
∴∠ODH=(180°﹣∠BOP)=∠OPB,
∴DH∥PB∥AG.
(3)解:如圖3,作CM⊥AP於M,ON⊥DH於N,
∴∠HON=∠BOP=∠COP=∠CAP,
∴△HON∽△CAM,
∴,
作PQ⊥AC於Q,
∴四邊形CDPQ是矩形,
△APH與△APQ關於AP對稱,
∴HQ⊥AP,
由(1)有:HK⊥AP,
∴點K在HQ上,
∴CF=PF,
∴FK是△CMP的中位線,
∴CM=2FK=4,MF=PF,
∵CM⊥AP,HK⊥AP,
∴CM∥HK,
∴∠BCM+∠CDH=180°,
∵∠BCM=∠CAP=∠BAP=∠PHK=∠MHK,
∴∠MHK+∠CDH=180°,
∴四邊形CDHM是平行四邊形,
∴DH=CM=4,DN=HN=2,
∵S△ODH=DH×ON=×4×ON=2,
∴ON=,
∴OH==5,
∴AC==10.
【點評】此題是圓的綜合題,主要考查了相似,圓中的一些角的關係,解本題的關鍵是判斷出平行線,難點是作輔助線.
知識點:點和圓、直線和圓的位置關係
題型:解答題
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