已知正方形ABCD邊長為4,點P為其所在平面內一點,PD=,∠BPD=90°,則點A到BP的距離等於
問題詳情:
已知正方形ABCD邊長為4,點P為其所在平面內一點,PD=,∠BPD=90°,則點A到BP的距離等於_____.
【回答】
或
【解析】
【分析】
由題意可得點P在以D為圓心,為半徑的圓上,同時點P也在以BD為直徑的圓上,即點P是兩圓的交點,分兩種情況討論,由勾股定理可求BP,AH的長,即可求點A到BP的距離.
【詳解】
∵點P滿足PD=,
∴點P在以D為圓心,為半徑的圓上,
∵∠BPD=90°,
∴點P在以BD為直徑的圓上,
∴如圖,點P是兩圓的交點,
若點P在AD上方,連接AP,過點A作AH⊥BP,
∵CD=4=BC,∠BCD=90°,
∴BD=4,
∵∠BPD=90°,
∴BP==3,
∵∠BPD=90°=∠BAD,
∴點A,點B,點D,點P四點共圓,
∴∠APB=∠ADB=45°,且AH⊥BP,
∴∠HAP=∠APH=45°,
∴AH=HP,
在Rt△AHB中,AB2=AH2+BH2,
∴16=AH2+(3﹣AH)2,
∴AH=(不合題意),或AH=,
若點P在CD的右側,
同理可得AH=,
綜上所述:AH=或.
【點睛】
本題是正方形與圓的綜合題,正確確定點P是以D為圓心,為半徑的圓和以BD為直徑的圓的交點是解決問題的關鍵.
知識點:點和圓、直線和圓的位置關係
題型:填空題
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