如圖,二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交於A、B兩點,與y軸交於點C,OB=OC.點D在函數圖象上,CD...
問題詳情:
如圖,二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交於 A、B兩點,與y軸交於點C,OB=OC.點D在函數圖象上,CD∥x軸,且CD=2,直線l是拋物線的對稱軸,E是拋物線的頂點.
(1)求b、c的值;
(2)如圖①,連接BE,線段OC上的點F關於直線l的對稱點F'恰好在線段BE上,求點F的座標;
(3)如圖②,動點P在線段OB上,過點P作x軸的垂線分別與BC交於點M,與拋物線交於點N.試問:拋物線上是否存在點Q,使得△PQN與△APM的面積相等,且線段NQ的長度最小?如果存在,求出點Q的座標;如果不存在,説明理由.
【回答】
【解答】解:
(1)∵CD∥x軸,CD=2,
∴拋物線對稱軸為x=1.
∴.
∵OB=OC,C(0,c),
∴B點的座標為(﹣c,0),
∴0=c2+2c+c,解得c=﹣3或c=0(捨去),
∴c=﹣3;
(2)設點F的座標為(0,m).
∵對稱軸為直線x=1,
∴點F關於直線l的對稱點F的座標為(2,m).
由(1)可知拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴E(1,﹣4),
∵直線BE經過點B(3,0),E(1,﹣4),
∴利用待定係數法可得直線BE的表達式為y=2x﹣6.
∵點F在BE上,
∴m=2×2﹣6=﹣2,即點F的座標為(0,﹣2);
(3)存在點Q滿足題意.
設點P座標為(n,0),則PA=n+1,PB=PM=3﹣n,PN=﹣n2+2n+3.
作QR⊥PN,垂足為R,
∵S△PQN=S△APM,
∴,
∴QR=1.
①點Q在直線PN的左側時,Q點的座標為(n﹣1,n2﹣4n),R點的座標為(n,n2﹣4n),N點的座標為(n,n2﹣2n﹣3).
∴在Rt△QRN中,NQ2=1+(2n﹣3)2,
∴時,NQ取最小值1.此時Q點的座標為;
②點Q在直線PN的右側時,Q點的座標為(n+1,n2﹣4).
同理,NQ2=1+(2n﹣1)2,
∴時,NQ取最小值1.此時Q點的座標為.
綜上可知存在滿足題意的點Q,其座標為或.
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:綜合題
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