設函數(為自然對數的底數),,.(1)若是的極值點,且直線分別與函數和的圖象交於,求兩點間的最短距離; ...
問題詳情:
設函數(為自然對數的底數),, .
(1)若是的極值點,且直線分別與函數和的圖象交於,求兩點間的最短距離;
(2)若時,函數的圖象恆在的圖象上方,求實數的取值範圍.
【回答】
(1)1(2)
【解析】試題分析:
(1)結合題意可得|PQ|=et+sint−2t.令h(x)=ex+sinx−2x,結合函數的*質可得兩點間的最短距離是1;
(2)構造函數,結合題意可得實數的取值範圍是.
試題解析:
(1)因為F(x)=ex+sinx−ax,所以F′(x)=ex+cosx−a,
因為x=0是F(x)的極值點,所以F′(0)=1+1−a=0,a=2.
又當a=2時,若x<0,F′(x)=ex+cosx−a<1+1−2=0,
所以F′(x)在(0,+∞)上為增函數,所以F′(x)>F′(0)=1+1−2=0,所以x=0是F(x)的極小值點,
所以a=2符合題意,所以|PQ|=et+sint−2t.令h(x)=ex+sinx−2x,即h′(x)=ex+cosx−2,
因為h′′(x)=ex−sinx,當x>0時,ex>1,−1⩽sinx⩽1,
所以h′′(x)=ex−sinx>0,所以h′(x)=ex+cosx−2在(0,+∞)上遞增,
所以h′(x)=ex+cosx−2>h′(0)=0,∴x∈[0,+∞)時,h(x)的最小值為h(0)=1,所以|PQ|min=1.
(2)令,
則,
,
因為當時恆成立,
所以函數在上單調遞增,∴當時恆成立;
故函數在上單調遞增,所以在時恆成立.
當時, , 在單調遞增,即.
故時恆成立.
當時,因為在單調遞增,所以總存在,使在區間上,導致在區間上單調遞減,而,所以當時, ,這與對恆成立矛盾,所以不符合題意,故符合條件的的取值範圍是.
知識點:基本初等函數I
題型:解答題
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