已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)過點A(1，－2)．（1）求拋物線C的方程，並求其準線方程；（2）是否存在...

問題詳情：

已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)過點A(1，－2)．

（1）求拋物線C的方程，並求其準線方程；

（2）是否存在平行於OA(O為座標原點)的直線l，使得直線l與拋物線C有公共點且直線OA與l的距離等於？若存在，求出直線l的方程；若不存在，説明理由．

【回答】

解：(1)將(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，

所以p＝2.    ----------------------2分

故所求的拋物線C的方程為y2＝4x，其準線方程為x＝－1. --------------4分

(2)假設存在符合題意的直線l，其方程為y＝－2x＋t，----------------------5分

由得y2＋2y－2t＝0.   ---------------------7分

因為直線l與拋物線C有公共點，

所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－.    ---------------------8分

另一方面，由直線OA與l的距離d＝，

可得＝，解得t＝±1.      ----------------------10分

因為－1∉，1∈，

所以符合題意的直線l存在，其方程為2x＋y－1＝0. ---------------------12分

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題