小波在複習時,遇到一個課本上的問題,温故後進行了*作、推理與拓展.(1)温故:如圖1,在△ABC中,AD⊥BC...
問題詳情:
小波在複習時,遇到一個課本上的問題,温故後進行了*作、推理與拓展.
(1)温故:如圖1,在△ABC中,AD⊥BC於點D,正方形PQMN的邊QM在BC上,頂點P,N分別在AB,AC上,若BC=6,AD=4,求正方形PQMN的邊長.
(2)*作:能畫出這類正方形嗎?小波按數學家波利亞在《怎樣解題》中的方法進行*作:如圖2,任意畫△ABC,在AB上任取一點P',畫正方形P'Q'M'N',使Q',M'在BC邊上,N'在△ABC內,連結BN'並延長交AC於點N,畫NM⊥BC於點M,NP⊥NM交AB於點P,PQ⊥BC於點Q,得到四邊形PPQMN.小波把線段BN稱為“波利亞線”.
(3)推理:*圖2中的四邊形PQMN是正方形.
(4)拓展:在(2)的條件下,在*線BN上截取NE=NM,連結EQ,EM(如圖3).當tan∠NBM=時,猜想∠QEM的度數,並嘗試*.
請幫助小波解決“温故”、“推理”、“拓展”中的問題.
【回答】
【分析】(1)理由相似三角形的*質構建方程即可解決問題.
(2)根據題意畫出圖形即可.
(3)首先*四邊形PQMN是矩形,再*MN=PN即可.
(4)*△BQE∽△BEM,推出∠BEQ=∠BME,由∠BME+∠EMN=90°,可得∠BEQ+∠NEM=90°,即可解決問題.
【解答】(1)解:如圖1中,
∵PN∥BC,
∴△APN∽△ABC,
∴=,即=,
解得PN=.
(2)能畫出這樣的正方形,如圖2中,正方形PNMQ即為所求.
(3)*:如圖2中,
由畫圖可知:∠QMN=∠PQM=∠NPQ=∠BM′N′=90°,
∴四邊形PNMQ是矩形,MN∥M′N′,
∴△BN′M′∽△BNM,
∴=,
同理可得:=,
∴=,
∵M′N′=P′N′,
∴MN=PN,
∴四邊形PQMN是正方形.
(4)解:如圖3中,結論:∠QEM=90°.
理由:由tan∠NBM==,可以假設MN=3k,BM=4k,則BN=5k,BQ=k,BE=2k,
∴==,==,
∴=,
∵∠QBE=∠EBM,
∴△BQE∽△BEM,
∴∠BEQ=∠BME,
∵NE=NM,
∴∠NEM=∠NME,
∵∠BME+∠EMN=90°,
∴∠BEQ+∠NEM=90°,
∴∠QEM=90°.
【點評】本題屬於四邊形綜合題,考查了正方形的*質和判定,相似三角形的判定和*質等知識,解題的關鍵是理解題意,靈活運用所學知識解決問題,屬於中考壓軸題.
知識點:各地中考
題型:綜合題
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