如圖,已知拋物線y=﹣x2+bx+c與一直線相交於A(1,0)、C(﹣2,3)兩點,與y軸交於點N,其頂點爲D...
問題詳情:
如圖,已知拋物線y=﹣x2+bx+c與一直線相交於A(1,0)、C(﹣2,3)兩點,與y軸交於點N,其頂點爲D.
(1)求拋物線及直線AC的函數關係式;
(2)若P是拋物線上位於直線AC上方的一個動點,求△APC的面積的最大值及此時點P的座標;
(3)在對稱軸上是否存在一點M,使△ANM的周長最小.若存在,請求出M點的座標和△ANM周長的最小值;若不存在,請說明理由.
【回答】
(1)y=﹣x2﹣2x+3;y=﹣x+1;(2)當x=﹣時,△APC的面積取最大值,最大值爲,此時點P的座標爲(﹣,);(3)在對稱軸上存在一點M(﹣1,2),使△ANM的周長最小,△ANM周長的最小值爲3.
【分析】
(1)根據點A,C的座標,利用待定係數法即可求出拋物線及直線AC的函數關係式;(2)過點P作PE∥y軸交x軸於點E,交直線AC於點F,過點C作CQ∥y軸交x軸於點Q,設點P的座標爲(x,﹣x2﹣2x+3)(﹣2<x<1),則點E的座標爲(x,0),點F的座標爲(x,﹣x+1),進而可得出PF的值,由點C的座標可得出點Q的座標,進而可得出AQ的值,利用三角形的面積公式可得出S△APC=﹣x2﹣x+3,再利用二次函數的*質,即可解決最值問題;(3)利用二次函數圖象上點的座標特徵可得出點N的座標,利用*法可找出拋物線的對稱軸,由點C,N的座標可得出點C,N關於拋物線的對稱軸對稱,令直線AC與拋物線的對稱軸的交點爲點M,則此時△ANM周長取最小值,再利用一次函數圖象上點的座標特徵求出點M的座標,以及利用兩點間的距離公式結合三角形的周長公式求出△ANM周長的最小值即可得出結論.
【詳解】
(1)將A(1,0),C(﹣2,3)代入y=﹣x2+bx+c,得:
,解得:,
∴拋物線的函數關係式爲y=﹣x2﹣2x+3;
設直線AC的函數關係式爲y=mx+n(m≠0),
將A(1,0),C(﹣2,3)代入y=mx+n,得:
,解得:,
∴直線AC的函數關係式爲y=﹣x+1.
(2)過點P作PE∥y軸交x軸於點E,交直線AC於點F,過點C作CQ∥y軸交x軸於點Q,如圖1所示.
設點P的座標爲(x,﹣x2﹣2x+3)(﹣2<x<1),則點E的座標爲(x,0),點F的座標爲(x,﹣x+1),
∴PE=﹣x2﹣2x+3,EF=﹣x+1,EF=PE﹣EF=﹣x2﹣2x+3﹣(﹣x+1)=﹣x2﹣x+2.
∵點C的座標爲(﹣2,3),
∴點Q的座標爲(﹣2,0),
∴AQ=1﹣(﹣2)=3,
∴S△APC=AQ•PF=﹣x2﹣x+3=﹣(x+)2+ .
∵﹣<0,
∴當x=﹣時,△APC的面積取最大值,最大值爲,此時點P的座標爲(﹣, ).
(3)當x=0時,y=﹣x2﹣2x+3=3,
∴點N的座標爲(0,3).
∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,
∴拋物線的對稱軸爲直線x=﹣1.
∵點C的座標爲(﹣2,3),
∴點C,N關於拋物線的對稱軸對稱.
令直線AC與拋物線的對稱軸的交點爲點M,如圖2所示.
∵點C,N關於拋物線的對稱軸對稱,
∴MN=CM,
∴AM+MN=AM+MC=AC,
∴此時△ANM周長取最小值.
當x=﹣1時,y=﹣x+1=2,
∴此時點M的座標爲(﹣1,2).
∵點A的座標爲(1,0),點C的座標爲(﹣2,3),點N的座標爲(0,3),
∴AC= =3,AN= =,
∴C△ANM=AM+MN+AN=AC+AN=3+.
∴在對稱軸上存在一點M(﹣1,2),使△ANM的周長最小,△ANM周長的最小值爲3+.
【點睛】
本題考查待定係數法求一次函數解析式、待定係數法求二次函數解析式、二次函數圖象上點的座標特徵、一次函數圖象上點的座標特徵、二次函數的*質、三角形的面積以及周長,解題的關鍵是:(1)根據點的座標,利用待定係數法求出拋物線及直線AC的函數關係式;(2)利用三角形的面積公式找出S△APC=﹣x2﹣x+3的最值;(3)利用二次函數圖象的對稱*結合兩點之間線段最短找出點M的位置.
知識點:二次函數的圖象和*質
題型:解答題
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