在平面直角座標，直線l：y=x﹣3經過橢圓E：（a＞b＞0）的一個焦點，且點（0，b）到直線l的距離爲2．（1...

問題詳情：

在平面直角座標，直線l：y=x﹣3經過橢圓E：（a＞b＞0）的一個焦點，且點（0，b）到直線l的距離爲2．

（1）求橢圓E的方程；

（2）A、B、C是橢圓上的三個動點A與B關於原點對稱，且|AC|=|CB|．問△ABC的面積是否存在最小值？若存在，求此時點C的座標；若不存在，說明理由．

【回答】

【考點】KH：直線與圓錐曲線的綜合問題．

【分析】（1）先求出c，再利用點（0，b）到直線l的距離爲2，求出b，從而可求a，即可得出橢圓E的方程；

（2）分類討論，直線AB的斜率存在且不爲0時，設AB：y=kx，代入橢圓方程，求出A的座標，同理求出C的座標，表示出面積，利用基本不等式，即可得出結論．

【解答】解：（1）對於直線l：y=x﹣3，令y=0，可得x=，

∴焦點爲（，0），

∴c=，

∵點（0，b）到直線l的距離爲2，

∴=2，

∵b＞0，

∴b=1，

∴a=2，

∴橢圓E的方程；

（2）①當AB爲長軸（或短軸）時，由題意，C是橢圓的上下頂點（或左右頂點），；

②當直線AB的斜率存在且不爲0時，設AB：y=kx，代入橢圓方程，可得，

∵|AC|=|CB|，O爲AB的中點，

∴OC⊥AB，

∴直線OC的方程爲y=﹣，

同理可得，

∴，，

∴S△ABC=2S△OAC=|OA||OC|=≥=，

當且僅當1+4k2=4+k2，即k=±1時取等號，

∴k=±1時，△ABC的面積最小值，

此時，C（，±）或C（﹣，±）．

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題