設某物體一天中的溫度T是時間t的函數,已知T(t)=t3+at2+bt+c,其中溫度的單位是℃,時間的單位是小...
問題詳情:
設某物體一天中的溫度T是時間t的函數,已知T(t)=t3+at2+bt+c,其中溫度的單位是℃,時間的單位是小時,規定中午12:00相應的t=0,中午12:00以後相應的t取正數,中午12:00以前相應的t取負數(例如早上8:00對應的t=﹣4,下午16:00相應的t=4),若測得該物體在中午12:00的溫度爲60℃,在下午13:00的溫度爲58℃,且已知該物體的溫度在早上8:00與下午16:00有相同的變化率.
(1)求該物體的溫度T關於時間t的函數關係式;
(2)該物體在上午10:00至下午14:00這段時間中(包括端點)何時溫度最高?最高溫度是多少?
【回答】
【考點】36:函數解析式的求解及常用方法.
【分析】(1)由題意可得當t=0時,T(t)=60; 當t=1時,T(t)=58;T′(﹣4)=T′(4),由此求得待定係數a、b、c的值,可得函數的解析式.
(2)利用導數研究函數的單調*,由單調*求得函數的最大值,從而得出結論.
【解答】解:(1)由題意可得,T′(t)=3t2+2at+b,當t=0時,T(t)=60;
當t=1時,T(t)=58;T′(﹣4)=T′(4),
故有c=60,1+a+b+c=58,3•(﹣4)2+2a•(﹣4)+b=3•42+2a•4+b,
解得a=0,b=﹣3,c=0,∴T(t)=t3 ﹣3t+60,(﹣12≤t≤12).
(2)該物體在上午10:00至下午14:00這段時間中(包括端點),即﹣2≤t≤2,T′(t)=3t2﹣3,
故當t∈[﹣2,﹣1)、(1,2]時,T′(t)=3t2﹣3>0,函數單調遞增;故當t∈[﹣1,1]時,T′(t)=3t2﹣3≤0,函數單調遞減,
故當t=﹣1時,函數取得極大值爲T(﹣1)=64,而區間[﹣2,2]的端點值T(﹣2)=58,T(2)=62,
故函數T(t)=t3+at2+bt+c在區間[﹣2,2]上的最大值爲64,
故上午11點溫度最高爲64°.
知識點:函數的應用
題型:解答題
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