如圖所示,兩個非共線向量,的夾角爲θ,M、N分別爲OA與OB的中點,點C在直線MN上,且=x+y(x,y∈R)...
問題詳情:
如圖所示,兩個非共線向量,的夾角爲θ,M、N分別爲OA與OB的中點,點C在直線MN上,且=x+y(x,y∈R),則x2+y2的最小值爲( )
A. B. C. D.
【回答】
B【考點】點到直線的距離公式;平面向量座標表示的應用.
【分析】法一:特殊值法,當θ=90°,||=||=1時,建立直角座標系,得x+y=,所以x2+y2的最小值爲原點到直線的距離的平方;
解法二:因爲點C、M、N共線,所以,有λ+μ=1,由M、N分別爲OA與OB的中點,可得x+y=,下同法一
【解答】解法一:特殊值法,當θ=90°,||=||=1時,建立直角座標系,
∴=x+y
得x+y=,所以x2+y2的最小值爲原點到直線的距離的平方;
解法二:因爲點C、M、N共線,所以,有λ+μ=1,
又因爲M、N分別爲OA與OB的中點,
所以=
∴x+y=
原題轉化爲:當x時,求x2+y2的最小值問題,
∵y=
∴x2+y2==
結合二次函數的*質可知,當x=時,取得最小值爲
故選B
【點評】本題主要考查了平面向量的應用,解題的關鍵是向量共線定理的應用及結論“點C、M、N共線,所以,有λ+μ=1“的應用
知識點:平面向量
題型:選擇題
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