已知橢圓的左、右焦點分別爲,且橢圓的離心率爲,過作軸的垂線與橢圓交於兩點,且,動點在橢圓上.(1)求橢圓的標準...
問題詳情:
已知橢圓的左、右焦點分別爲,且橢圓的離心率爲,過作軸的垂線與橢圓交於兩點,且,動點在橢圓上.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)記橢圓的左、右頂點分別爲,且直線的斜率分別與直線(
爲座標原點)的斜率相同,動點不與重合,求的面積.
【回答】
【解析】(1)聯立方程得解得,故,即,
又,,所以,(3分)
故橢圓C的標準方程爲.(4分)
(2)由(1)知,,設,則,
又,即,所以,所以.
當直線的斜率不存在時,直線的斜率分別爲或,
不妨設直線的方程是,由得,.
取,則,所以的面積爲.(6分)
當直線的斜率存在時,設方程爲.
由得.
因爲在橢圓上,所以,解得.
設,,則,.(8分)
所以
.
設點到直線的距離爲,則.
所以的面積爲,①.(10分)
因爲,
所以
由,得,②.
由①②,得.
綜上所述,的面積爲.(12分)
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題
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