如圖，已知拋物線C：y2=2px和⊙M：（x﹣4）2+y2=1，過拋物線C上一點H（x0，y0）（y0≥1）作...

問題詳情：

如圖，已知拋物線C：y2=2px和⊙M：（x﹣4）2+y2=1，過拋物線C上一點H（x0，y0）（y0≥1）作兩條直線與⊙M相切於A、兩點，分別交拋物線爲E、F兩點，圓心點M到拋物線準線的距離爲．

（Ⅰ）求拋物線C的方程；

（Ⅱ）當∠AHB的角平分線垂直x軸時，求直線EF的斜率；

（Ⅲ）若直線AB在y軸上的截距爲t，求t的最小值．

【回答】

【考點】圓與圓錐曲線的綜合；利用導數研究函數的單調*；利用導數求閉區間上函數的最值；拋物線的標準方程．

【專題】綜合題．

【分析】（Ⅰ）利用點M到拋物線準線的距離爲，可得，從而可求拋物線C的方程；

（Ⅱ）法一：根據當∠AHB的角平分線垂直x軸時，點H（4，2），可得kHE=﹣kHF，設E（x1，y1），F（x2，y2），可得y1+y2=﹣2yH=﹣4，從而可求直線EF的斜率；

法二：求得直線HA的方程爲，與拋物線方程聯立，求出E，F的座標，從而可求直線EF的斜率；

（Ⅲ）法一：設A（x1，y1），B（x2，y2），求出直線HA的方程，直線HB的方程，從而可得直線AB的方程，令x=0，可得，再利用導數法，即可求得t的最小值．

法二：求以H爲圓心，HA爲半徑的圓方程，⊙M方程，兩方程相減，可得直線AB的方程，當x=0時，直線AB在y軸上的截距（m≥1），再利用導數法，即可求得t的最小值．

【解答】解：（Ⅰ）∵點M到拋物線準線的距離爲=，

∴，∴拋物線C的方程爲y2=x．

（Ⅱ）法一：∵當∠AHB的角平分線垂直x軸時，點H（4，2），∴kHE=﹣kHF，

設E（x1，y1），F（x2，y2），∴，∴，

∴y1+y2=﹣2yH=﹣4．

∴．

法二：∵當∠AHB的角平分線垂直x軸時，點H（4，2），∴∠AHB=60°，可得，，

∴直線HA的方程爲，

聯立方程組，得，

∵

∴，．

同理可得，，∴．

（Ⅲ）法一：設A（x1，y1），B（x2，y2），∵，∴，

∴直線HA的方程爲（4﹣x1）x﹣y1y+4x1﹣15=0，

同理，直線HB的方程爲（4﹣x2）x﹣y2y+4x2﹣15=0，

∴，，

∴直線AB的方程爲，

令x=0，可得，

∵，∴t關於y0的函數在[1，+∞）上單調遞增，

∴當y0=1時，tmin=﹣11．

法二：設點H（m2，m）（m≥1），HM2=m4﹣7m2+16，HA2=m4﹣7m2+15．

以H爲圓心，HA爲半徑的圓方程爲（x﹣m2）2+（y﹣m）2=m4﹣7m2+15，①

⊙M方程：（x﹣4）2+y2=1．②

①﹣②得：直線AB的方程爲（2x﹣m2﹣4）（4﹣m2）﹣（2y﹣m）m=m4﹣7m2+14．

當x=0時，直線AB在y軸上的截距（m≥1），

∵，∴t關於m的函數在[1，+∞）上單調遞增，

∴當m=1時，tmin=﹣11．

【點評】本題以拋物線與圓的方程爲載體，考查拋物線的標準方程，考查直線方程，同時考查利用導數法解決函數的最值問題，綜合*較強．

知識點：導數及其應用

題型：綜合題