如圖1，四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，點P爲DC上一點，且AP＝AB，分別過點A和點C作直線BP的...

問題詳情：

如圖1，四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，點P爲DC上一點，且AP＝AB，分別過點A和點C作直線BP的垂線，垂足爲點E和點F．

（1）*：△ABE∽△BCF；

（2）若＝，求的值；

（3）如圖2，若AB＝BC，設∠DAP的平分線AG交直線BP於G．當CF＝1，＝時，求線段AG的長．

【回答】

解析 （1）由余角的*質可得∠ABE＝∠BCF，即可*△ABE∽△BCF；

（2）由相似三角形的*質可得＝＝，由等腰三角形的*質可得BP＝2BE，即可求的值；

（3）由題意可*△DPH∽△CPB，可得＝＝，可求AE＝，由等腰三角形的*質可得AE平分∠BAP，可*∠EAG＝∠BAH＝45°，可得△AEG是等腰直角三角形，即可求AG的長．

*：（1）∵AB⊥BC，∴∠ABE+∠FBC＝90°

又∵CF⊥BF，∴∠BCF+∠FBC＝90°∴∠ABE＝∠BCF

又∵∠AEB＝∠BFC＝90°，∴△ABE∽△BCF

（2）∵△ABE∽△BCF，∴＝＝

又∵AP＝AB，AE⊥BF，∴BP＝2BE∴＝＝

（3）如圖，延長AD與BG的延長線交於H點

∵AD∥BC，

∴△DPH∽△CPB

∴＝＝

∵AB＝BC，由（1）可知△ABE≌△BCF

∴CF＝BE＝EP＝1，

∴BP＝2，

代入上式可得HP＝，HE＝1+＝

∵△ABE∽△HAE，

∴＝，＝，

∴AE＝

∵AP＝AB，AE⊥BF，

∴AE平分∠BAP

又∵AG平分∠DAP，

∴∠EAG＝∠BAH＝45°，

∴△AEG是等腰直角三角形．

∴AG＝AE＝3

知識點：相似三角形

題型：解答題