定義:如圖1,點P爲∠AOB平分線上一點,∠MPN的兩邊分別與*線OA,OB交於M,N兩點,若∠MPN繞點P旋...
問題詳情:
定義:如圖1,點P爲∠AOB平分線上一點,∠MPN的兩邊分別與*線OA,OB交於M,N兩點,若∠MPN繞點P旋轉時始終滿足OM•ON=OP2,則稱∠MPN是∠AOB的“相關角”.
(1)如圖1,已知∠AOB=60°,點P爲∠AOB平分線上一點,∠MPN的兩邊分別與*線OA,OB交於M,N兩點,且∠MPN=150°.求*:∠MPN是∠AOB的“相關角”;
(2)如圖2,已知∠AOB=α(0°α90°),OP=3,若∠MPN是∠AOB的“相關角”,連結MN,用含α的式子分別表示∠MPN的度數和△MON的面積;
(3)如圖3,C是函數(x0)圖象上的一個動點,過點C的直線CD分別交x軸和y軸於點A,B兩點,且滿足BC=3CA,∠AOB的“相關角”爲∠APB,請直接寫出OP的長及相應點P的座標.
【回答】
(1)見解析;(2);(3),P點座標爲或
【解析】
【分析】
(1)由角平分線求出∠MOP=∠NOP=∠AOB=30°,再*出∠OMP=∠OPN,*△MOP∽△PON,即可得出結論;
(2)由∠MPN是∠AOB的“相關角”,判斷出△MOP∽△PON,得出∠OMP=∠OPN,即可得出∠MPN=180°﹣α;過點M作MH⊥OB於H,由三角形的面積公式得出:S△MON=ON•MH,即可得出結論;
(3)設點C(a,b),則ab=3,過點C作CH⊥OA於H;分兩種情況:①當點B在y軸正半軸上時;當點A在x軸的負半軸上時,BC=3CA不可能;當點A在x軸的正半軸上時;先求出,由平行線得出△ACH∽△ABO,得出比例式:,得出OB,OA,求出OA•OB,根據∠APB是∠AOB的“相關角”,得出OP,即可得出點P的座標;②當點B在y軸的負半軸上時;同①的方法即可得出結論.
【詳解】
(1)*:∵∠AOB=60°,P爲∠AOB的平分線上一點,
∴∠AOP=∠BOP=∠AOB=30°,
∵∠MOP+∠OMP+∠MPO=180°,
∴∠OMP+∠MPO=150°,
∵∠MPN=150°,
∴∠MPO+∠OPN=150°,
∴∠OMP=∠OPN,
∴△MOP∽△PON,
∴,
∴OP2=OM•ON,
∴∠MPN是∠AOB的“相關角”;
(2)解:∵∠MPN是∠AOB的“相關角”,
∴OM•ON=OP2,
∴,
∵P爲∠AOB的平分線上一點,
∴∠MOP=∠NOP=α,
∴△MOP∽△PON,
∴∠OMP=∠OPN,
∴∠MPN=∠OPN+∠OPM=∠OMP+∠OPM=180°﹣α,
即∠MPN=180°﹣α;
過點M作MH⊥OB於H,如圖2,
則S△MON=ON•MH=ON•OMsinα=OP2•sinα,
∵OP=3,
∴S△MON=sinα;
(3)設點C(a,b),則ab=4,
過點C作CH⊥OA於H;分兩種情況:
①當點B在y軸正半軸上時;
Ⅰ、當點A在x軸的負半軸上,如圖3所示:
BC=3CA不可能,
Ⅱ、當點A在x軸的正半軸上時,如圖4所示:
∵BC=3CA,
∴,
∵CHOB,
∴△ACH∽△ABO,
∴,
∴,
∴OB=4b,OA=a,
∴OA•OB=a•4b=ab=,
∵∠APB是∠AOB的“相關角”,
∴OP2=OA•OB,
∴,
∵∠AOB=90°,OP平分∠AOB,
∴點P的座標爲:;
②當點B在y軸的負半軸上時,如圖5所示:
∵BC=3CA,
∴AB=2CA,
∴,
∵CHOB,
∴△ACH∽△ABO,
∴,
∴
∴OB=2b,OA=a,
∴OA•OB=a•2b=ab=,
∵∠APB是∠AOB的“相關角”,
∴OP2=OA•OB,
∴,
∵∠AOB=90°,OP平分∠AOB,
∴點P的座標爲:;
綜上所述:點P的座標爲:或.
【點睛】
本題考查反比例函數與幾何綜合,掌握數形結合和分類討論的思想是解題的關鍵.
知識點:反比例函數單元測試
題型:解答題
-
下列元素原子半徑最大的是 ( )A、Li B、F C、Na D、Cl
問題詳情:下列元素原子半徑最大的是 ( )A、Li B、F C、Na D、Cl【回答】C知識點:元素週期律題型:選擇題...
-
估計21的算術平方根的大小在( ) A.2與3之間 B. ...
問題詳情:估計21的算術平方根的大小在() A.2與3之間 B. 3與4之間 C. 4與5之間 D.5與6之間...
-
默寫古詩名句,並寫出相應的作家、篇名。(12分)①像野馬在平原上奔馳,像 ,...
問題詳情:默寫古詩名句,並寫出相應的作家、篇名。(12分)①像野馬在平原上奔馳,像 ,像 。②五嶺逶迤騰細浪, 。(*《七律·長征》)...
-
______bytheclearwaters,thisforestprovidesvisitorswithaw...
問題詳情:______bytheclearwaters,thisforestprovidesvisitorswithawonderfulchancetoseesomeendangeredbirdsinthewild.A.BeingsurroundedB.SurroundingC.Surrounded D.Tobesurrounded【回答】C【解析】試題分析:考查過去分詞做狀語:句意:被清澈的水包圍着,這...
相關文章
- 如圖,點P爲定角∠AOB的平分線上的一個定點,且∠MPN與∠AOB互補,若∠MPN在繞點P旋轉的過程中,其兩邊...
- 如圖,已知直線MN與MN同側兩點A、B求作:點P,使點P在MN上,且∠APM=∠BPN
- 如圖,點P是∠AOB外一點,點M、N分別是∠AOB兩邊上的點,點P關於OA的對稱點Q恰好落在線段MN上,點P關...
- 已知:如圖,點A、B分別是∠MON的邊OM、ON上兩點,OC平分∠MON,在∠CON的內部取一點P(點A、P、...
- 如圖,點P是∠AOB外的一點,點M,N分別是∠AOB兩邊上的點,點P關於OA的對稱點Q恰好落在線段MN上,點P...
- 如圖,已知AM∥BN,∠A=60°.點P是*線AM上一動點(與點A不重合),BC、BD分別平分∠ABP和∠PB...
- 如圖,已知PC平分∠MPN,點O是PC上任意一點,PM與⊙O相切於點E,交PC於A、B兩點.(1)求*:PN與...
- 如圖7,∠AOB=30°,P是∠AOB的角平分線上的一點,PM⊥OB於點M,PN∥OB交OA於點N,若PM=1...
- 如圖,∠AOB=60°,點P是∠AOB內的定點且OP=,若點M、N分別是*線OA、OB上異於點O的動點,則△P...
- 如圖,點P是∠AOB內任意一點,且∠AOB=40°,點M和點N分別是*線OA和*線OB上的動點,當△PMN周長...