已知函数且.（1）求a；（2）*：存在唯一的极大值点，且.

问题详情：

已知函数且.

（1）求a；

（2）*：存在唯一的极大值点，且.

【回答】

（1）a=1；（2）见解析.

【分析】

（1）通过分析可知f（x）≥0等价于h（x）＝ax﹣a﹣lnx≥0，进而利用h′（x）＝a可得h（x）min＝h（），从而可得结论；

（2）通过（1）可知f（x）＝x2﹣x﹣xlnx，记t（x）＝f′（x）＝2x﹣2﹣lnx，解不等式可知t（x）min＝t（）＝ln2﹣1＜0，从而可知f′（x）＝0存在两根x0，x2，利用f（x）必存在唯一极大值点x0及x0可知f（x0），另一方面可知f（x0）＞f（）．

【详解】

（1）解：因为f（x）＝ax2﹣ax﹣xlnx＝x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0），

则f（x）≥0等价于h（x）＝ax﹣a﹣lnx≥0，求导可知h′（x）＝a．

则当a≤0时h′（x）＜0，即y＝h（x）在（0，+∞）上单调递减，

所以当x0＞1时，h（x0）＜h（1）＝0，矛盾，故a＞0．

因为当0＜x时h′（x）＜0、当x时h′（x）＞0，

所以h（x）min＝h（），

又因为h（1）＝a﹣a﹣ln1＝0，

所以1，解得a＝1；

另解：因为f（1）＝0，所以f（x）≥0等价于f（x）在x＞0时的最小值为f（1），

所以等价于f（x）在x＝1处是极小值，

所以解得a＝1；

（2）*：由（1）可知f（x）＝x2﹣x﹣xlnx，f′（x）＝2x﹣2﹣lnx，

令f′（x）＝0，可得2x﹣2﹣lnx＝0，记t（x）＝2x﹣2﹣lnx，则t′（x）＝2，

令t′（x）＝0，解得：x，

所以t（x）在区间（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，

所以t（x）min＝t（）＝ln2﹣1＜0，从而t（x）＝0有解，即f′（x）＝0存在两根x0，x2，

且不妨设f′（x）在（0，x0）上为正、在（x0，x2）上为负、在（x2，+∞）上为正，

所以f（x）必存在唯一极大值点x0，且2x0﹣2﹣lnx0＝0，

所以f（x0）x0﹣x0lnx0x0+2x0﹣2x0，

由x0可知f（x0）＜（x0）max；

由f′（）＜0可知x0，

所以f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，）上单调递减，

所以f（x0）＞f（）；

综上所述，f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．

知识点：导数及其应用

题型：解答题