平面内与两定点连线的斜率之积等于常数(的点的轨迹,连同两点所成的曲线为C.(Ⅰ)求曲线C的方程,并讨论C的形状...
问题详情:
平面内与两定点连线的斜率之积等于常数(的点的轨迹,连同两点所成的曲线为C.
(Ⅰ)求曲线C的方程,并讨论C的形状;
(II)设,,对应的曲线是,已知动直线与椭圆交于、两不同点,且,其中O为坐标原点,探究 是否为定值,写出解答过程。
【回答】
解:(Ⅰ)设动点为M,其坐标为,
当时,由条件可得
即,又的坐标满足
故依题意,曲线C的方程为
当曲线C的方程为是焦点在y轴上的椭圆;
当时,曲线C的方程为,C是圆心在原点的圆;
当时,曲线C的方程为,C是焦点在x轴上的椭圆; ……6分
(Ⅱ)解::
当直线的斜率不存在时,P,Q两点关于x轴对称,
所以因为在椭圆上,因此 ①
又因为所以 ②
由①、②得此时
当直线的斜率存在时,设直线的方程为
将其代入,得,
其中即 (*)
又,
所以
因为点O到直线的距离为所以
又整理得且符合(*)式,
此时
综上所述结论成立 ……13分
(Ⅱ)解法2:
令P,Q
化简得
又P,Q在
则
代入得,
知识点:直线与方程
题型:解答题
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