已知定义在（－∞，—1）∪（1，+∞）上的奇函数满足：①f(3)=1;②对任意的x>2,均有f(x)&g...

问题详情：

已知定义在（－∞，—1）∪（1，+∞）上的奇函数满足：①f(3)=1;②对任意的x>2, 均有f(x)>0,③对任意的x>0,y>0.均有f(x+1)+f(y+1)=f(xy+1)                                                                                                                                                                                                                                                                                                              ⑴试求f(2)的值;

⑵*f(x)在(1,+∞)上单调递增；

⑶是否存在实数a,使得f(cos2θ+asinθ)<3对任意的θ （0，π）恒成立？若存在，请求出a的范围；若不存在，请说明理由。                                                  

【回答】

 解：1）令X=Y=1得f(2)+f(2)=f(2),∴f(2)=0…………(2分)

 2) 任取X1>1，X2>1，X2>X1，则有   从而，

即

∴f(x)在（1，+∞）上单调递增……………（8分）

3）因为f(x)为奇函数，且在（1，+∞）上单调递增，令X=Y=2，得f（5）=f（3）+f（3）=2，再令X=2，Y=4，得f(9)=f(3)+f(5)=3,

由因为f(x)为奇函数，所以,于是f(x)<3的解集为；

（-∞，-）∪（1，9），于是问题转化为是否存在实数a,使对任意的θ∈（0，π）恒成立，令sinθ=t,则t∈(0,1]于是恒成立等价于恒成立.即恒成立，当t→0时，，故不存在实数a使对任意的

θ∈（0，π）恒成立.

1<cos2θ+asinθ<9恒成立等价于恒成立，得a>1,

t2-at+8>0,t∈(0,1]等价于，在（0，1]单调递减，于是g(t)min=9,故a<9  于是存在a∈(1,9)使1<cos2θ+asinθ<9 对任意的θ∈（0，π）恒成立.

综上知，存在实数a∈(1,9),使得对任意的θ∈（0，π）恒成立.

知识点：*与函数的概念

题型：解答题