已知函数f(x)=2x3-3(k+1)x2+6kx+t,其中k,t为实数,记区间[-2,2]为I. (1)若...
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已知函数f (x)=2x3-3(k+1)x2+6kx+t,其中k,t为实数,记区间[-2,2]为I.
(1)若函数f (x)的图像与x轴相切于点(2,0),求k,t的值;
(2)已知k≥1,如果存在x0∈(-2,2),使得f (x0)为f (x)在I上的最大值,求k的取值范围;
(3)已知-<k<-3,若对于任意x∈I,都有f (x)≥6(x-2)ex,求t的最小值.(e2≈7.39)
【回答】
(1)f′(x)=6x2-6(k+1)x+6k=6(x-1)(x-k),
因为函数f (x)的图像与x轴相切于点(2,0),于是f (2)=0,f′(2)=0,
即2-k=0,16-12(k+1)+12k+t=0,解得k=2,t=-4.
(2)当k≥2时,f (x)在(-2,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,
于是存在x0=1,使得f (x0)为f (x)在I上的最大值;
当k=1时,f′(x)≥0恒成立,故f (x)在I上单调递增,
故不存在x0∈(-2,2),使得f (x0)为f (x)在I上的最大值;
当1<k<2时,f (x)在(-2,1)上单调递增,在(1,k)上单调递减,在(k,2)上单调递增,
于是若存在x0∈(-2,2),使得f (x0)为f (x)在I上的最大值,则必有f (1)≥f (2),
即k≥,又1<k<2,于是≤k<2;
综上,k≥.
(3)对于任意x∈I,都有f (x)≥6(x-2)ex,
即对于任意x∈I,都有2x3-3(k+1)x2+6kx+t≥6(x-2)ex
即t≥6(x-2)ex-2x3+3(k+1)x2-6kx
设g (x)=6(x-2)ex-2x3+3(k+1)x2-6kx,x∈[-2,2],
则g′(x)=6(x-1)( ex-x+k),令h(x)=ex-x+k,x∈[-2,2],
则h′(x)=ex-1,于是h(x)在(-2,0)上单调递减,在(0,2)上单调递增,
又h(-2)=+2+k<+2-3=-1<0,于是当x∈[-2,0]时h(x)<0恒成立,
又h(1)=e-1+k<e-1-3=e-4<0,h(2)=e2-2+k>e2-2-=e2->0,
因此h(x)=ex-x+k,x∈[-2,2]存在唯一的零点x0∈(1,2),
于是g (x)在(-2,1)上单调递增,在(1,x0)上单调递减,在(x0,2)上单调递增,
所以g (x)max=max{ g (1),g (2)}.
又g (1)-g (2)=(1-6e-3k)-(-4)=5-6e-3k<5-6e-3(-)=15-6e<0,于是g (1)<g (2),
所以g (x)max=g (2)=-4,即t≥-4,因此t的最小值是-4.
【说明】本题主要考查利用导数求函数的最值,分类讨论思想及函数极值点常见的处理方法.其中第三问要能通过给定的k的范围比较相关量的大小.
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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