阅读下面材料： 小敏遇到这一个问题：已知α为锐角，且tanα=，求tan2α的值．小敏根据锐角三角函数及三角形...

问题详情：

阅读下面材料：

小敏遇到这一个问题：已知α为锐角，且tanα=，求tan2α的值．

小敏根据锐角三角函数及三角形有关的学习经验，先画出一个含

锐角α的直角三角形：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=α.她通

过*思考及与同学进行交流、讨论后，形成了构造2α角的几种方法：

方法1：如图1，作线段AB的垂直平分线交BC于点D,连结AD.

方法2：如图2，以直线BC为对称轴，作出△ABC的轴对称图形△A，BC．

方法3：如图3，以直线AB为对称轴，作出△ABC的轴对称图形△ABC，．

……

                                                                                                       

图1                           图2                          图3

请你参考上面的想法，根据勾股定理及三角函数等知识帮助小敏求tan2α的值．（一种方法即可）

【回答】

解：方法1：

∵线段AB的垂直平分线BC交于点D，

AD=BD, ……… …………1分

∴∠1=∠B

∵∠B=α  ∴∠2=∠1+∠B=2α… ……3分

在Rt△ABC中，∠C=90°，tanα=  ∴

设……………………………4分

在Rt△ADC中，∠C=90°，由勾股定理得，…… ……………5分

解得：……… ………………6分

∴……… ………………7分

方法2：过A作AD⊥A＇B于点D. …………………………………………1分

∵△ABC、△A＇BC关于BC对称，

∴∠1=∠ABC =α

∴∠A＇BA=∠1+∠ABC =2α…………………………………………2分

在Rt△ABC中，∠C=90°，tanα=∴

设…………………………3分

∵

∴………………………………………………………4分

∴……………………………………………………………5分

在Rt△ABD中，∠ADB=90°，

∴………………………………………………………………6分

∴………………………………………………7分

 方法3：延长C＇A交BC的延长线于点D. ………………………………………1分

∵△ABC、△ABC’关于直线AB对称，

∴∠1=∠ABC = α，BC＇= BC

∴∠C＇BC=∠1+∠ABC =2α………………………………………………2分

∵tanα=∴设AC = k,则BC = 2k，

BC＇= 2k……………………………………………………………………3分

设CD = x

∵∠ACB=90°,∴∠ACD=90°,

∴△ACD ∽△BC’D………………………………………………………4分

∴  ∴

∴C＇D = 2 x  ∴AD =2x -k

在Rt△ACD中，∠ACD=90°，

由勾股定理得， ……… ………5分

………… ……………6分

∴…… ………7分

知识点：画轴对称图形

题型：解答题