如图,是的直径,点C,点D在上,,与相交于点E,与相切于点A,与延长线相交于点F.(1)求*:.(2)若,,求...
问题详情:
如图,是的直径,点C,点D在上,,与相交于点E,与相切于点A,与延长线相交于点F.
(1)求*:.
(2)若,,求的半径.
【回答】
(1)见解析;(2)
【解析】
(1)根据圆周角定理得到∠ACB=90°,根据切线*质得到∠BAF=90°,由得出∠CAD=∠CDA,结合∠CDA=∠ABC,*∠CAF=∠CAD,从而*△ACF≌△ACE,即可得到结论;
(2)根据EF求出CE,结合sin∠ABF=sin∠CAD求出AE,再利用勾股定理算出AC,最后根据sin∠ABF=求出AB即可得到半径.
【详解】
解:(1)∵AB为圆O直径,
∴∠ACB=90°,
∵AF与圆O相切,
∴∠BAF=90°=∠CAF+∠CAB,
∴∠CBA+∠CAB=90°,
∵,
∴AC=CD,
∴∠CAD=∠CDA,
又∵∠CDA=∠CBA,
∴∠CDA+∠CAB=∠CAD+∠CAB=90°,
∴∠CAF=∠CAD,又AC=AC,∠ACF=∠ACE=90°,
∴△ACF≌△ACE(ASA),
∴AE=AF;
(2)∵∠ABF=∠ADC=∠CAD,
∴sin∠ABF=sin∠CAD==,
∵△ACF≌△ACE,EF=12,
∴CE=CF=6,
∴=,解得:AE=10,
∴AC==8,
∴sin∠ABF==,
∴AB=,
∴圆O的半径为.
【点睛】
本题考查了圆周角定理,切线的*质,全等三角形的判定和*质,正弦的定义,知识点较多,有一定难度,解题时要注意多个知识点相结合.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题
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