阅读下面的例题及点拨,并解决问题:例题:如图①,在等边△ABC中,M是BC边上一点(不含端点B,C),N是△A...
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阅读下面的例题及点拨,并解决问题:
例题:如图①,在等边△ABC中,M是BC边上一点(不含端点B,C),N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点,且AM=MN.求*:∠AMN=60°.
点拨:如图②,作∠CBE=60°,BE与NC的延长线相交于点E,得等边△BEC,连接EM.易*:△ABM≌△EBM(SAS),可得AM=EM,∠1=∠2;又AM=MN,则EM=MN,可得∠3=∠4;由∠3+∠1=∠4+∠5=60°,进一步可得∠1=∠2=∠5,又因为∠2+∠6=120°,所以∠5+∠6=120°,即:∠AMN=60°.
问题:如图③,在正方形A1B1C1D1中,M1是B1C1边上一点(不含端点B1,C1),N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点,且A1M1=M1N1.求*:∠A1M1N1=90°.
【回答】
【分析】延长A1B1至E,使EB1=A1B1,连接EM1C、EC1,则EB1=B1C1,∠EB1M1中=90°=∠A1B1M1,得出△EB1C1是等腰直角三角形,由等腰直角三角形的*质得出∠B1EC1=∠B1C1E=45°,*出∠B1C1E+∠M1C1N1=180°,得出E、CN1,三点共线,由SAS*△A1B1M1≌△EB1M1得出A1M1=EM1,∠1=∠2,得出EM1=M1N1,由等腰三角形的*质得出∠3=∠4,*出∠1=∠2=∠5,得出∠5+∠6=90°,即可得出结论.
【解答】解:延长A1B1至E,使EB1=A1B1,连接EM1C、EC1,如图所示:
则EB1=B1C1,∠EB1M1中=90°=∠A1B1M1,
∴△EB1C1是等腰直角三角形,
∴∠B1EC1=∠B1C1E=45°,
∵N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点,
∴∠M1C1N1=90°+45°=135°,
∴∠B1C1E+∠M1C1N1=180°,
∴E、CN1,三点共线,
在△A1B1M1和△EB1M1中,,
∴△A1B1M1≌△EB1M1(SAS),
∴A1M1=EM1,∠1=∠2,
∵A1M1=M1N1,
∴EM1=M1N1,
∴∠3=∠4,
∵∠2+∠3=45°,∠4+∠5=45°,
∴∠1=∠2=∠5,
∵∠1+∠6=90°,
∴∠5+∠6=90°,
∴∠A1M1N1=180°﹣90°=90°.
知识点:各地中考
题型:综合题
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