已知函数,(,).(1)当时,①若函数与在处的切线均为,求的值;②若曲线与有且仅有一个公共点,求的取值范围;(...
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已知函数,(,).
(1)当时,
① 若函数与在处的切线均为,求的值;
② 若曲线与有且仅有一个公共点,求的取值范围;
(2)当时,设,若函数存在两个不同的零点
求*:.
【回答】
解:(1)当时,,所以,.
① 由题意,切线的斜率,即,所以. …… 2分
② 设函数,.
“曲线与有且仅有一个公共点”等价于“函数有且仅有
一个零点”.
求导,得.
(ⅰ)当时,由,得,所以函数在单调递减.
因为,所以函数有且仅有一个零点1,符合题意. …… 5分
(ⅱ)当时,,
当变化时,与的变化情况列表如下:
0 | |||
↗ | 极大值 | ↘ |
所以函数在上单调递增,在上单调递减,
所以当时,.
注意到,且,
若,则,所以函数有且仅有一个零点1,符合题意.
若,取 ,,
所以函数存在两个零点,一个为1,另一个在,与题意不符.
若,取,
由于,
所以函数存在两个零点,一个为1,另一个在,与题意不符.
综上,曲线与有且仅有一个公共点时,的取值范围是
或. …… 9分
(2)当时,.
因为,所以,
即.
令,则,
当时,,当时,,
所以在上递增,在上递减,
所以在处有极大值,所以.
令,, …… 12分
则,
所以在上单调递增,从而,
所以,
而在上递减,且,
所以,即. …… 16分
知识点:基本初等函数I
题型:解答题
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