如图,已知圆柱和半径为的半球O,圆柱的下底面在半球O底面所在平面上,圆柱的上底面内接于球O,则该圆柱的体积的最...
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如图,已知圆柱和半径为的半球O,圆柱的下底面在半球O底面所在平面上,圆柱的上底面内接于球O,则该圆柱的体积的最大值为_____.
【回答】
2π
【解析】
【分析】
设圆柱的底面圆半径为r,高为h,求出r与h的关系,再计算圆柱的体积V,从而求出体积V的最大值.
【详解】解:设圆柱的底面圆半径为r,高为h;
则h2+r2=R2=3;
所以圆柱的体积为V=πr2h=π(3﹣h2)h=π(3h﹣h3);
则V′(h)=π(3﹣3h2),
令V′(h)=0,解得h=1;
所以h∈(0,1)时,V′(h)>0,V(h)单调递增;
h∈(1,)时,V′(h)<0,V(h)单调递减;
所以h=1时,V(h)取得最大值为V(1)=2π.
故*为:2π.
【点睛】本题考查了半球与内接圆柱的结构特征与应用问题,也考查了圆柱的体积计算问题,是中档题.
知识点:空间几何体
题型:填空题
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