设函数f(x)是R上的奇函数,f(x+π)=﹣f(x),当0≤x≤时,f(x)=cosx﹣1,则﹣2π≤x≤2...
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设函数f(x)是R上的奇函数,f(x+π)=﹣f(x),当0≤x≤时,f(x)=cosx﹣1,则﹣2π≤x≤2π时,f(x)的图象与x轴所围成图形的面积为( )
A.4π﹣8 B.2π﹣4 C.π﹣2 D.3π﹣6
【回答】
A【考点】6G:定积分在求面积中的应用.
【分析】根据函数的奇偶*得到函数的周期是2π,分别求出函数的解析式,利用积分的应用即可得到结论
【解答】解:由f(x+π)=﹣f(x)得f(x+2π)=f(x),
即函数的周期是2π,
若﹣≤x≤0,则0≤﹣x≤,
即f(﹣x)=cos(﹣x)﹣1=cosx﹣1,
∵f(x)是R上的奇函数,
∴f(﹣x)=cosx﹣1=﹣f(x),
即f(x)=1﹣cosx,﹣≤x≤0,
∵函数的周期是2π,
∴当<x≤2π时,﹣<x﹣2π≤0,
即f(x)=f(x﹣2π)=1﹣cos(x﹣2π)=1﹣cosx,
当<x≤π时,﹣<x﹣π≤0,
即f(x)=﹣f(x﹣π)=cos(x﹣π)﹣1=﹣cosx﹣1,
当π<x≤时,0≤x﹣π≤,
即f(x)=﹣f(x﹣π)=﹣cos(x﹣π)+1=cosx+1,
综上:f(x)=,
则由积分的公式和*质可知当﹣2π≤x≤2π时,f(x)的图象与x轴所围成图形的面积
S=2=4=8=8||=8(x﹣sinx)|=4π﹣8.
故选A.
知识点:导数及其应用
题型:选择题
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