如图,已知△ABC是⊙O的内接三角形,AB为⊙O的直径,OD⊥AB于点O,且∠ODC=2∠A.(1)求*:CD...
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如图,已知△ABC是⊙O的内接三角形,AB为⊙O的直径,OD⊥AB于点O,且∠ODC=2∠A.
(1)求*:CD是⊙O的切线;
(2)若AB=6,tan∠A=,求CD的长.
【回答】
【解答】解:(1)*:连接OC,
∵OA=OC,
∴∠A=∠ACO,
∴∠BOC=2∠A,
又∵∠ODC=2∠A,
∴∠ODC=∠BOC,
∵OD⊥AB,即∠BOC+∠COD=90°,
∴∠ODC+∠COD=90°,
∴∠OCD=90°,
即CD⊥OC,
又∵OC是⊙O的半径,
∴CD是⊙O的切线;
(2)如图,过点C作CH⊥AB于点H,
∵AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,
∴∠ACB=90°,
又∵∠CBH=∠ABC,
∴∠BCH=∠A,
在Rt△ABC中,AB=6,tan∠A==,
设BC=x,则AC=3x,由勾股定理得:x2+(3x)2=62,
解得:x2=,
即BC2=,
又在Rt△BCH中,tan∠BCH==,
BH2+CH2=BC2,
即BH2+(3BH)2=,
解得:BH=CH=,
∵OB=OC=3,
∴OH=,
又∵Rt△DOC∽Rt△OCH,
∴=,
则CD==3×÷=4.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题
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