已知函数.(1)若函数,求的极值;(2)*:.(参考数据: )
问题详情:
已知函数.
(1)若函数,求的极值;
(2)*:.
(参考数据: )
【回答】
【详解】(1),,当,,
当,,在上递增,在上递减,在取得极大值,极大值为,无极大值.
(2)要*f(x)+1<ex﹣x2.
即*ex﹣x2﹣xlnx﹣1>0,
先*lnx≤x﹣1,取h(x)=lnx﹣x+1,则h′(x)=,
易知h(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减,
故h(x)≤h(1)=0,即lnx≤x﹣1,当且仅当x=1时取“=”,
故xlnx≤x(x﹣1),ex﹣x2﹣xlnx≥ex﹣2x2+x﹣1,
故只需*当x>0时,ex﹣2x2+x﹣1>0恒成立,
令k(x)=ex﹣2x2+x﹣1,(x≥0),则k′(x)=ex﹣4x+1,
令F(x)=k′(x),则F′(x)=ex﹣4,令F′(x)=0,解得:x=2ln2,
∵F′(x)递增,故x∈(0,2ln2]时,F′(x)≤0,F(x)递减,即k′(x)递减,
x∈(2ln2,+∞)时,F′(x)>0,F(x)递增,即k′(x)递增,
且k′(2ln2)=5﹣8ln2<0,k′(0)=2>0,k′(2)=e2﹣8+1>0,
由零点存在定理,可知∃x1∈(0,2ln2),∃x2∈(2ln2,2),使得k′(x1)=k′(x2)=0,
故0<x<x1或x>x2时,k′(x)>0,k(x)递增,当x1<x<x2时,k′(x)<0,k(x)递减,故k(x)的最小值是k(0)=0或k(x2),由k′(x2)=0,得=4x2﹣1,
k(x2)=﹣2+x2﹣1=﹣(x2﹣2)(2x2﹣1),∵x2∈(2ln2,2),∴k(x2)>0,
故x>0时,k(x)>0,原不等式成立.
【点睛】本题考查了函数的单调*,极值问题,考查导数的应用以及不等式的*,考查转化思想,属于中档题.
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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