(1)某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目:如图1,在△ABC中,点O在线段BC上,∠BAO=30°,∠...
问题详情:
(1)某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目:
如图1,在△ABC中,点O在线段BC上,∠BAO=30°,∠OAC=75°,AO=,BO:CO=1:3,求AB的长.
经过社团成员讨论发现,过点B作BD∥AC,交AO的延长线于点D,通过构造△ABD就可以解决问题(如图2).
请回答:∠ADB= °,AB= .
(2)请参考以上解决思路,解决问题:
如图3,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC⊥AD,AO=,∠ABC=∠ACB=75°,BO:OD=1:3,求DC的长.
【回答】
(1)75;4;(2)CD=4.
【解析】
【分析】
(1)根据平行线的*质可得出∠ADB=∠OAC=75°,结合∠BOD=∠COA可得出△BOD∽△COA,利用相似三角形的*质可求出OD的值,进而可得出AD的值,由三角形内角和定理可得出∠ABD=75°=∠ADB,由等角对等边可得出AB=AD=4,此题得解;
(2)过点B作BE∥AD交AC于点E,同(1)可得出AE=4,在Rt△AEB中,利用勾股定理可求出BE的长度,再在Rt△CAD中,利用勾股定理可求出DC的长,此题得解.
【详解】
解:(1)∵BD∥AC,
∴∠ADB=∠OAC=75°.
∵∠BOD=∠COA,
∴△BOD∽△COA,
∴.
又∵AO=3,
∴OD=AO=,
∴AD=AO+OD=4.
∵∠BAD=30°,∠ADB=75°,
∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=75°=∠ADB,
∴AB=AD=4.
(2)过点B作BE∥AD交AC于点E,如图所示.
∵AC⊥AD,BE∥AD,
∴∠DAC=∠BEA=90°.
∵∠AOD=∠EOB,
∴△AOD∽△EOB,
∴.
∵BO:OD=1:3,
∴.
∵AO=3,
∴EO=,
∴AE=4.
∵∠ABC=∠ACB=75°,
∴∠BAC=30°,AB=AC,
∴AB=2BE.
在Rt△AEB中,BE2+AE2=AB2,即(4)2+BE2=(2BE)2,
解得:BE=4,
∴AB=AC=8,AD=12.
在Rt△CAD中,AC2+AD2=CD2,即82+122=CD2,
解得:CD=4.
【点睛】
本题考查了相似三角形的*质、等腰三角形的判定与*质、勾股定理以及平行线的*质,解题的关键是:(1)利用相似三角形的*质求出OD的值;(2)利用勾股定理求出BE、CD的长度.
知识点:相似三角形
题型:解答题
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