為響應“生產發展、生活富裕、鄉風文明、村容整潔、管理*”的社會主義新農村建設,某自然村將村邊一塊廢棄的扇形荒...
問題詳情:
為響應“生產發展、生活富裕、鄉風文明、村容整潔、管理*”的社會主義新農村建設,某自然村將村邊一塊廢棄的扇形荒地(如圖)租給蜂農養蜂、產蜜與售蜜.已知扇形AOB中,,(百米),荒地內規劃修建兩條直路AB,OC,其中點C在上(C與A,B不重合),在小路AB與OC的交點D處設立售蜜點,圖中*影部分為蜂巢區,空白部分為蜂源植物生長區.設,蜂巢區的面積為S(平方百米).
(1)求S關於的函式關係式;
(2)當為何值時,蜂巢區的面積S最小,並求此時S的最小值.
【回答】
(1),;(2)當等於時,S取到最小值平方百米
【解析】
【分析】
(1)由余弦定理得,由正弦定理得,,蜂巢區的面積,由此能求出關於的函式關係式.
(2)對求導得,當時,,遞減,當時,,遞增,當,時,,遞減,由此能求出當為時,蜂巢區的面積最小,的最小值為.
【詳解】
(1),,由余弦定理得,
在中,由正弦定理得,,
,,
蜂巢區的面積:
,
整理,得關於的函式關係式為:
,.
(2)對求導,得,
令,解得或,
當時,,遞減,
當時,,遞增,
當,時,,遞減,
綜上所述,的最小值只可有在或趨近時取得,
當時,,當時,,
當為時,蜂巢區的面積最小,的最小值為.
【點睛】
本題考查函式關係式、蜂巢區的面積最小值的求法,考查三角函式*質有生產生活中的應用等基礎知識,考查運算求解能力和應用意識,是中檔題.
知識點:導數及其應用
題型:解答題
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