“愛國，是人世間最深層、最持久的情感，是一個人立德之源、立功之本。”在中華民族幾千年綿延發展的歷史長河中，愛國...

問題詳情：

“愛國，是人世間最深層、最持久的情感，是一個人立德之源、立功之本。”在中華民族幾千年綿延發展的歷史長河中，愛國主義始終是激昂的主旋律。愛國汽車公司擬對“東方紅”款高階汽車發動機進行科技改造，根據市場調研與模擬，得到科技改造投入（億元）與科技改造直接收益（億元）的資料統計如下：

當時，建立了與的兩個迴歸模型：模型①： ；模型②：；當時，確定與滿足的線*迴歸方程為：．

（1）根據下列表格中的資料，比較當時模型①、②的相關指數，並選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預測對“東方紅”款汽車發動機科技改造的投入為億元時的直接收益．

（附：刻畫迴歸效果的相關指數，．）

（2）為鼓勵科技創新，當科技改造的投入不少於億元時，國家給予公司補貼收益億元，以迴歸方程為預測依據，比較科技改造投入億元與億元時公司實際收益的大小；

（附：用最小二乘法求線*迴歸方程的係數公式;）

（3）科技改造後，“東方紅”款汽車發動機的熱效率大幅提高，服從常態分佈，]

公司對科技改造團隊的獎勵方案如下：若發動機的熱效率不超過，不予獎勵；若發動機的熱效率超過但不超過，每臺發動機獎勵萬元；若發動機的熱效率超過，每臺發動機獎勵萬元．求每臺發動機獲得獎勵的數學期望．

（附：隨機變數服從常態分佈，則，．） 

【回答】

解：（1）由表格中的資料，有，即     1分

所以模型①的小於模型②，說明迴歸模型②刻畫的擬合效果更好．······ 2分

所以當億元時，科技改造直接收益的預測值為

（億元）··········· 3分 

（2）由已知可得：，所以········ 4分

，所以·············· 5分

所以

所以當億元時，與滿足的線*迴歸方程為：····· 6分

所以當億元時，科技改造直接收益的預測值

所以當億元時，實際收益的預測值為億元億元

所以技改造投入億元時，公司的實際收益的更大·············· 7分

（3）因為

所以，·· 8分

因為，

所以··················· 9分

所以············· 10分

設每臺發動機獲得的獎勵為（萬元），則的分佈列為：

所以每臺發動機獲得獎勵的數學期望為（萬元）  12分

知識點：統計

題型：解答題