（1）觀察猜想：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D在邊BC上，連接AD，把△ABD繞點A逆時...

問題詳情：

（1）觀察猜想：

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D在邊BC上，連接AD，把△ABD繞點A逆時針旋轉90°，點D落在點E處，如圖①所示，則線段CE和線段BD的數量關係是　   　，位置關係是　   　．

（2）探究*：

在（1）的條件下，若點D在線段BC的延長線上，請判斷（1）中結論是還成立嗎？請在圖②中畫出圖形，並*你的判斷．

（3）拓展延伸：

如圖③，∠BAC≠90°，若AB≠AC，∠ACB=45°，AC=，其他條件不變，過點D作DF⊥AD交CE於點F，請直接寫出線段CF長度的最大值．

【回答】

【解答】解：（1）①∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE，

∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，

∴△BAD≌△CAE，

∴CE=BD，∠ACE=∠B，

∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，

∴BD⊥CE；

故*爲：CE=BD，CE⊥BD．

（2）（1）中的結論仍然成立．理由如下：

如圖，∵線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE，

∴AE=AD，∠DAE=90°，

∵AB=AC，∠BAC=90°

∴∠CAE=∠BAD，

∴△ACE≌△ABD，

∴CE=BD，∠ACE=∠B，

∴∠BCE=90°，即CE⊥BD，

∴線段CE，BD之間的位置關係和數量關係分別爲：CE=BD，CE⊥BD．

（3）如圖3，過A作AM⊥BC於M，EN⊥AM於N，

∵線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE

∴∠DAE=90°，AD=AE， 

∴∠NAE=∠ADM，

易*得Rt△AMD≌Rt△ENA，

∴NE=AM，

∵∠ACB=45°，

∴△AMC爲等腰直角三角形，

∴AM=MC，

∴MC=NE，

∵AM⊥BC，EN⊥AM，

∴NE∥MC，

∴四邊形MCEN爲平行四邊形，

∵∠AMC=90°，

∴四邊形MCEN爲矩形，

∴∠DCF=90°，

∴Rt△AMD∽Rt△DCF，

∴=，

設DC=x，

∵∠ACB=45°，AC=，

∴AM=CM=1，MD=1﹣x，

∴=，

∴CF=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+，

∴當x=時有最大值，CF最大值爲．

知識點：相似三角形

題型：解答題