如圖，二次函數y＝﹣x2+bx+c的圖象過原點，與x軸的另一個交點爲（8，0）（1）求該二次函數的解析式；（2...

問題詳情：

如圖，二次函數y＝﹣x2+bx+c的圖象過原點，與x軸的另一個交點爲（8，0）

（1）求該二次函數的解析式；

（2）在x軸上方作x軸的平行線y1＝m，交二次函數圖象於A、B兩點，過A、B兩點分別作x軸的垂線，垂足分別爲點D、點C．當矩形ABCD爲正方形時，求m的值；

（3）在（2）的條件下，動點P從點A出發沿*線AB以每秒1個單位長度勻速運動，同時動點Q以相同的速度從點A出發沿線段AD勻速運動，到達點D時立即原速返回，當動點Q返回到點A時，P、Q兩點同時停止運動，設運動時間爲t秒（t＞0）．過點P向x軸作垂線，交拋物線於點E，交直線AC於點F，問：以A、E、F、Q四點爲頂點構成的四邊形能否是平行四邊形．若能，請求出t的值；若不能，請說明理由．

【回答】

解：（1）將（0，0），（8，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得：

，解得：，

∴該二次函數的解析式爲y＝﹣x2+x．

（2）當y＝m時，﹣x2+x＝m，

解得：x1＝4﹣，x2＝4+，

∴點A的座標爲（4﹣，m），點B的座標爲（4+，m），

∴點D的座標爲（4﹣，0），點C的座標爲（4+，0）．

∵矩形ABCD爲正方形，

∴4+﹣（4﹣）＝m，

解得：m1＝﹣16（捨去），m2＝4．

∴當矩形ABCD爲正方形時，m的值爲4．

（3）以A、E、F、Q四點爲頂點構成的四邊形能爲平行四邊形．

由（2）可知：點A的座標爲（2，4），點B的座標爲（6，4），點C的座標爲（6，0），點D的座標爲（2，0）．

設直線AC的解析式爲y＝kx+a（k≠0），

將A（2，4），C（6，0）代入y＝kx+a，得：

，解得：，

∴直線AC的解析式爲y＝﹣x+6．

當x＝2+t時，y＝﹣x2+x＝﹣t2+t+4，y＝﹣x+6＝﹣t+4，

∴點E的座標爲（2+t，﹣t2+t+4），點F的座標爲（2+t，﹣t+4）．

∵以A、E、F、Q四點爲頂點構成的四邊形爲平行四邊形，且AQ∥EF，

∴AQ＝EF，分三種情況考慮：

①當0＜t≤4時，如圖1所示，AQ＝t，EF＝﹣t2+t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+t，

∴t＝﹣t2+t，

解得：t1＝0（捨去），t2＝4；

②當4＜t≤7時，如圖2所示，AQ＝t﹣4，EF＝﹣t2+t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+t，

∴t﹣4＝﹣t2+t，

解得：t3＝﹣2（捨去），t4＝6；

③當7＜t≤8時，AQ＝t﹣4，EF＝﹣t+4﹣（﹣t2+t+4）＝t2﹣t，

∴t﹣4＝t2﹣t，

解得：t5＝5﹣（捨去），t6＝5+（捨去）．

綜上所述：當以A、E、F、Q四點爲頂點構成的四邊形爲平行四邊形時，t的值爲4或6．

知識點：各地中考

題型：綜合題