已知函數,.(爲常數,爲自然對數的底,) (Ⅰ)當時,求的單調區間; (Ⅱ)若函數在區間上無零點,求的最小值...
問題詳情:
已知函數,.(爲常數,爲自然對數的底,)
(Ⅰ)當時,求的單調區間;
(Ⅱ)若函數在區間上無零點,求的最小值;
(Ⅲ)若對任意給定的,在上總存在兩個不同的,使得
成立,求的取值範圍.
【回答】
解:(Ⅰ)當時,則.
令得;令得
故的單調遞減區間爲,單調遞增區間爲 ……………2分
(Ⅱ)∵函數在區間上不可能恆成立,故要使函數在區間上無零點,只要對,恆成立。即對,恆成立。……3分
令()則 …4分
再令,則,∵,∴
故函數在區間上單調遞減,∴
即,∴函數在區間上單調遞增,∴ …5分
故只要函數在區間上無零點,所以 …6分
(Ⅲ)∵,當,,∴函數在區間上是增函數。
∴ …7分
當時,,不符題意
當時,
當時,,由題意有在上不單調,故
∴① …8分
當變化時,變化情況如下:
0 | + | ||
單調遞減 | 最小值 | 單調遞增 |
又因爲時,
…9分
所以,對於給定的,在在上總存在兩個不同的,使得成立,當且僅當滿足下列條件
即②③ …10分
令
,令,則
故時,,函數單調遞增
時,,函數單調遞減
所以對任意的, …11分
由③得④,由①④當時,在上總存在兩個不同的,使得成立
知識點:基本初等函數I
題型:解答題
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