已知數列(其中第一項是,接下來的項是,再接下來的項是,依此類推)的前項和爲,下列判斷:①是的第項;②存在常數,...
問題詳情:
已知數列(其中第一項是,接下來的項是,再接下來的項是,依此類推)的前項和爲,下列判斷:
①是的第項;②存在常數,使得恆成立;③;④滿足不等式的正整數的最小值是.
其中正確的序號是( )
A.①③ B.①④ C.①③④ D.②③④
【回答】
B
【解析】
找出數列的規律:分母爲的項有項,並將這些項排成楊輝三角形式的數陣,使得第有項,每項的分母均爲,並計算出每行各項之和,並計算出數列的前項和,結合這些規律來判斷各題的正誤。
【詳解】
由題意可知,數列的規律爲:分母爲的項有項,將數列中的項排成楊輝三角數陣,且使得第行每項的分母爲,該行有項,如下所示:
對於命題①,位於數陣第行最後一項,對應於數列的項數爲
,命題①正確;
對於命題②,數陣中第行各項之和爲,則,
且數列的前項之和爲
,
當時,,因此,不存在正數,使得,命題②錯誤;
對於命題③,易知第行最後一項位於數列的項數爲
,
第行最後一項位於數列的項數爲,且,
則位於數陣第行第項(即),
所以,
,命題③錯誤;
由①知,,且,
則恰好滿足的項位於第行,假設位於第項,
則有,可得出,
由於,,則,,
因此,滿足的最小正整數,命題④正確。
故選:B.
【點睛】
本題考查歸納推理,考查與數列相關的知識,關鍵要找出數列的規律,在解題時可以將規律轉化爲楊輝三角來處理,在做題過程中找出項與數陣中相對應的位置,綜合*較強,屬於難題。
知識點:數列
題型:選擇題
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