如圖所示,在直角座標平面內,函數的圖象經過A(1,4),B(a,b),其中a>1.過點A作x軸垂線,垂足爲C,...
練習題2.23W
問題詳情:
如圖所示,在直角座標平面內,函數的圖象經過A(1,4),B(a,b),其中a>1.過點A作x軸垂線,垂足爲C,過點B作y軸垂線,垂足爲D,連接AD、DC、CB.(1)若△ABD的面積爲4,求點B的座標;(2)求*:DC∥AB;(3)四邊形ABCD能否爲菱形?如果能,請求出四邊形ABCD爲菱形時,直線AB的函數解析式;如果不能,請說明理由.試題*
練習冊*
在線課程
【*】分析:(1)根據題意AC垂直於x軸,由A的座標得到C(1,0),設出點D座標和反比例函數解析式,結合點A(1,4)在函數圖象上,得到反比例函數解析式,從而得到ab=4,再根據△ABD的面積爲4,根據底爲BD,高爲AM,利用三角形的面積公式表示出三角形ABD的面積,由此三角形面積爲4列出關係式,將ab=4代入可得出a的值,進而確定出b的值,即可得到點B的座標;(2)根據經過兩點直線斜率的公式,結合C、D的座標,得到直線DC的斜率爲-b,同理根據A、B兩點的座標,得到直線AB的斜率關於a、b的式子,再根據反比例解析式,有ab=4,代入化簡可得kAB==-b,直線AB與直線DC的斜率相等,根據斜率相等的兩直線平行可得出DC∥AB;(3)根據條件可知四邊形ABCD的對角線互相垂直,只要四邊形ABCD是平行四邊形,它就是一個菱形,再由(2)知DC∥AB,所以只需DC=AB即可,接下來利用兩點的距離公式,根據CD=AB列出關於a、b的等式,結合ab=4,求出a與b的值,確定出B點座標爲(2,2),此時四邊形ABCD爲菱形,最後用經過兩點的直線斜率的公式,得出此時直線AB的斜率,再由B的座標,即可求出直線AB方程.解答:(1)解:根據題意A(1,4),得C(1,0),又∵B(a,b),故設點D(0,b),∵A(1,4)在反比例函數y=的圖象上,∴將x=1,y=4代入反比例函數解析式得:4=,即m=4,∵根據點B(a,b)在反比例函數圖象上,∴將x=a,y=b代入反比例函數解析式得:ab=4,∴S△ABD=BD•AM=×a×(4-b)=4,即4a-ab=4a-4=8,∴a=3,b=,則點B的座標爲(3, );(2)*:由C(1,0),設D(0,b),則直線DC的斜率爲kDC==-b.同理,根據A(1,4),(a,b),可得直線AB的斜率爲kAB=.∵點B在反比例函數圖象上,有ab=4,∴kAB===-b=kDC,則DC∥AB;(3)四邊形ABCD能爲菱形,而四邊形ABCD的對角線互相垂直,故當ABCD是平行四邊形時,四邊形ABCD就是菱形,由(2)得DC∥AB,要使ABCD是平行四邊形,只需DC=AB,即=,兩邊平方得:1-2a+a2+16-8b+b2=1+b2,即a2-2a-8b+16=0①,又∵ab=4,即b=②,將②代入①得:(a-2)(a2+16)=0,解得:a=2,將a=2代入②得:b=2,∴B(2,2),則點爲B(2,2)時,四邊形ABCD爲菱形時,此時直線AB的斜率爲kAB==-2,由直線的點斜式方程,得AB方程爲y-2=-2(x-2),即y=-2x+6,則所求函數解析式爲y=-2x+6.點評:本題主要考查了直線的斜率和直線的方程,兩點的距離公式,座標系內三角形面積求法,以及菱形的判定,從圖上獲取有用的信息是解題的關鍵所在.已知點在圖象上,那麼點一定滿足這個函數解析式,反過來如果這點滿足函數的解析式,那麼這個點也一定在函數圖象上,在分析問題時,注意將數形結合在一起.
【回答】
【*】分析:(1)根據題意AC垂直於x軸,由A的座標得到C(1,0),設出點D座標和反比例函數解析式,結合點A(1,4)在函數圖象上,得到反比例函數解析式,從而得到ab=4,再根據△ABD的面積爲4,根據底爲BD,高爲AM,利用三角形的面積公式表示出三角形ABD的面積,由此三角形面積爲4列出關係式,將ab=4代入可得出a的值,進而確定出b的值,即可得到點B的座標;(2)根據經過兩點直線斜率的公式,結合C、D的座標,得到直線DC的斜率爲-b,同理根據A、B兩點的座標,得到直線AB的斜率關於a、b的式子,再根據反比例解析式,有ab=4,代入化簡可得kAB==-b,直線AB與直線DC的斜率相等,根據斜率相等的兩直線平行可得出DC∥AB;(3)根據條件可知四邊形ABCD的對角線互相垂直,只要四邊形ABCD是平行四邊形,它就是一個菱形,再由(2)知DC∥AB,所以只需DC=AB即可,接下來利用兩點的距離公式,根據CD=AB列出關於a、b的等式,結合ab=4,求出a與b的值,確定出B點座標爲(2,2),此時四邊形ABCD爲菱形,最後用經過兩點的直線斜率的公式,得出此時直線AB的斜率,再由B的座標,即可求出直線AB方程.解答:(1)解:根據題意A(1,4),得C(1,0),又∵B(a,b),故設點D(0,b),∵A(1,4)在反比例函數y=的圖象上,∴將x=1,y=4代入反比例函數解析式得:4=,即m=4,∵根據點B(a,b)在反比例函數圖象上,∴將x=a,y=b代入反比例函數解析式得:ab=4,∴S△ABD=BD•AM=×a×(4-b)=4,即4a-ab=4a-4=8,∴a=3,b=,則點B的座標爲(3, );(2)*:由C(1,0),設D(0,b),則直線DC的斜率爲kDC==-b.同理,根據A(1,4),(a,b),可得直線AB的斜率爲kAB=.∵點B在反比例函數圖象上,有ab=4,∴kAB===-b=kDC,則DC∥AB;(3)四邊形ABCD能爲菱形,而四邊形ABCD的對角線互相垂直,故當ABCD是平行四邊形時,四邊形ABCD就是菱形,由(2)得DC∥AB,要使ABCD是平行四邊形,只需DC=AB,即=,兩邊平方得:1-2a+a2+16-8b+b2=1+b2,即a2-2a-8b+16=0①,又∵ab=4,即b=②,將②代入①得:(a-2)(a2+16)=0,解得:a=2,將a=2代入②得:b=2,∴B(2,2),則點爲B(2,2)時,四邊形ABCD爲菱形時,此時直線AB的斜率爲kAB==-2,由直線的點斜式方程,得AB方程爲y-2=-2(x-2),即y=-2x+6,則所求函數解析式爲y=-2x+6.點評:本題主要考查了直線的斜率和直線的方程,兩點的距離公式,座標系內三角形面積求法,以及菱形的判定,從圖上獲取有用的信息是解題的關鍵所在.已知點在圖象上,那麼點一定滿足這個函數解析式,反過來如果這點滿足函數的解析式,那麼這個點也一定在函數圖象上,在分析問題時,注意將數形結合在一起.知識點:
題型:
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