如圖T8-6,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC於點D,O爲AB上一點,經過點A,D的☉...

問題詳情：

 如圖T8-6,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC於點D,O爲AB上一點,經過點A,D的☉O分別交AB,AC於點E,F,連接OF交AD於點G.

圖T8-6

(1)求*:BC是☉O的切線;

(2)設AB=x,AF=y,試用含x,y的代數式表示線段AD的長;

(3)若BE=8,sinB=,求DG的長.

【回答】

[解析] (1)連接OD,根據同圓半徑相等及角平分線條件得到∠DAC=∠ODA,得OD∥AC,切線得*;(2)連接EF,DF,根據直徑所對圓周角爲直角,*∠AFE=90°,可得EF∥BC,因此∠B=∠AEF,再利用同弧所對圓周角相等可得∠B=∠ADF,從而*△ABD∽△ADF,可得AD與AB,AF的關係;(3)根據∠AEF=∠B,利用三角函數,分別在Rt△DOB和Rt△AFE中求出半徑和AF,代入(2)的結論中,求出AD,再利用兩角對應相等,*△OGD∽△FGA,再利用對應邊成比例,求出DG∶AG的值,即可求得DG的長.

解:(1)*:連接OD,

∵OA=OD,

∴∠OAD=∠ODA,

∵AD平分∠BAC,

∴∠OAD=∠DAC,

∴∠DAC=∠ODA,

∴OD∥AC,

∴∠ODB=∠C=90°,∴OD⊥BC.

∵OD爲☉O的半徑,∴BC是☉O的切線.

(2)連接EF,DF.∵AE爲☉O直徑,

∴∠AFE=90°,∴∠AFE=∠C=90°,

∴EF∥BC,∴∠B=∠AEF.

∵∠ADF=∠AEF,∴∠B=∠ADF.

又∵∠OAD=∠DAC,∴△ABD∽△ADF,

∴=,∴AD2=AB·AF,

∴AD=.

(3)設☉O半徑爲r,

在Rt△DOB中,sinB==,

∴=,解得r=5,∴AE=10.

在Rt△AFE中,sin∠AEF=sinB=,

∴AF=10×=,

∴AD==.

∵∠ODA=∠DAC,∠DGO=∠AGF,

∴△OGD∽△FGA,

∴==,

∴=,

∴DG=.

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題