已知點O是正方形ABCD對角線BD的中點.(1) 如圖1，若點E是OD的中點，點F是AB上一點，且使得∠CEF...

問題詳情：

已知點O是正方形ABCD對角線BD的中點.

(1)  如圖1，若點E是OD的中點，點F是AB上一點，且使得∠CEF=90°，過點E作ME∥AD，交AB於點M，交CD於點N.

①∠AEM=∠FEM；  ②點F是AB的中點；

(2)  如圖2，若點E是OD上一點，點F是AB上一點，且使==，請判斷△EFC的形狀，並說明理由；

(3)  如圖3，若E是OD上的動點（不與O，D重合），連接CE，過E點作EF⊥CE，交AB於點F，當=時，請猜想的值（請直接寫出結論.

【回答】

(1)  *：①∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABD=45°，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AE=CE，

∵ME∥AD，

∴ME⊥AB，∠AME=∠BME=∠BAD=90°，∠ENC=∠ADC=90°，

∴△BME是等腰直角三角形，四邊形BCNM是矩形，

∴BM=EM，BM=CN，

∴EM=CN，

在Rt△AME和Rt△ENC中，，

∴Rt△AME≌Rt△ENC（HL），

∴∠AEM=∠ECN，

∵∠CEF=90°，

∴∠FEM+∠CEN=90°，

∵∠ECN+∠CEN=90°，

∴∠FEM=∠ECN，

∴∠AEM=∠FEM；

②在△AME和△FME中，∠AME=∠FME=90°，∠AEM=∠FEM，

∴∠EAF=∠EFA，

∴AE=FE，

∵ME⊥AF，

∴AM=FM，

∴AF=2AM，

∵點E是OD的中點，O是BD的中點，

∴=，

∵ME∥AD，

∴=，

∴=，

∴點F是AB的中點；

(2)  解：△EFC是等腰直角三角形；理由如下：

過點E作ME∥AD，交AB於點M，交CD於點N．如圖所示：

同(1)  得：AE=CE，Rt△AME≌Rt△ENC，

∴∠AEM=∠ECN，

∵=，O是DB的中點，

∴=，

∵ME∥AD，

∴=，

∵=，

∴AF=2AM，即M是AF的中點，

∵ME⊥AB，

∴AE=FE，

∴∠AEM=∠FEM，FE=CE，

∵∠ECN+∠CEN=90°，

∴∠FEM+∠CEN=90°，

∴∠CEF=90°，

∴△EFC是等腰直角三角形；

(3)  解：當=時， =；理由同(1)  ．

知識點：特殊的平行四邊形

題型：解答題