已知椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),且椭圆C经过点P...
问题详情:
已知椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),且椭圆C经过点P.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M,N两点,点Q是线段MN上的点,且=+,求点Q的轨迹方程.
【回答】
解 (1)由椭圆定义知
2a=|PF1|+|PF2|==2.
所以a=.
又由已知得,c=1,所以椭圆C的离心率e===.
(2)由(1)知,椭圆C的方程为+y2=1.
设点Q的坐标为(x,y).
(i)当直线l与x轴垂直时,直线l与椭圆C交于(0,1),(0,-1)两点,此时点Q的坐标为.
(ii)当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=kx+2.
因为M,N在直线l上,可设点M,N的坐标分别为(x1,kx1+2),(x2,kx2+2),则
|AM|2=(1+k2)x,|AN|2=(1+k2)x.
又|AQ|2=x2+(y-2)2=(1+k2)x2.
由得
即=+=.①
将y=kx+2代入+y2=1中,得
(2k2+1)x2+8kx+6=0.②
由Δ=(8k)2-4×(2k2+1)×6>0,得k2>.
由②可知,x1+x2=,x1x2=,
代入①中并化简,得
x2=.③
因为点Q在直线y=kx+2上,所以k=,代入③中并化简,得10(y-2)2-3x2=18.
由③及k2>,可知0<x2<,
即x∈
又满足10(y-2)2-3x2=18,
故x∈.
由题意知点Q(x,y)在椭圆C内,所以-1≤y≤1,
又由10(y-2)2=18+3x2有
(y-2)2∈,且-1≤y≤1,则y∈.
所以点Q的轨迹方程为10(y-2)2-3x2=18,其中x∈,y∈.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题
-
某商品进价是1000元,售价为1500元.为促销,商店决定降价出售,但保*利润率不低于,则商店最多降 元...
问题详情:某商品进价是1000元,售价为1500元.为促销,商店决定降价出售,但保*利润率不低于,则商店最多降元出售商品.【回答】450元. 知识点:一元一次不等式题型:解答题...
-
默写古诗名句,并写出相应的作家、篇名。(12分)①像野马在平原上奔驰,像 ,...
问题详情:默写古诗名句,并写出相应的作家、篇名。(12分)①像野马在平原上奔驰,像 ,像 。②五岭逶迤腾细浪, 。(*《七律·长征》)...
-
予独爱莲之 , 。(周敦颐《爱莲说》)
问题详情:予独爱莲之 , 。(周敦颐《爱莲说》)【回答】出淤泥而不染,濯清涟而不妖知识点:作家作品题型:填空题...
-
Chinahasbeenpushingthereformofpublichospitals_______al...
问题详情: Chinahasbeenpushingthereformofpublichospitals_______allitscitizens.A.inchargeof B.forthepurposeof C.inhonorof ...
相关文章
- 已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交C于A、B两点,且|AB|=...
- .已知点M是椭圆C:+=1(a>b>0)上一点,F1,F2分别为C的左、右焦点,且|F1F2|=4...
- 椭圆+=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,若椭圆C上恰好有6个不同的点P,使得△F1F...
- 设F1、F2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右两个焦点.(1)若椭圆C上的点A(1,)到F...
- 已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交C于A、B两点,且=3,则C...
- 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的左焦点为F1(-1,0),且点P(0...
- 椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点为F1、F2,点P在椭圆C上,且PF1⊥F1F2,|PF1|=,|PF2...
- 动点P为椭圆+=1(a>b>0)上异于椭圆顶点(±a,0)的一点,F1、F2为椭圆的两个焦点,动圆...
- 椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,离心率为,过F1且垂直于x轴的直线被椭圆...
- 已知点F1,F2,是椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点,以F1为圆心,F1F2为半径的圆与椭圆在第...