若一個四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形,且其中一個等腰三角形的底角是另一個等腰三角形底角的2倍,我...
問題詳情:
若一個四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形,且其中一個等腰三角形的底角是另一個等腰三角形底角的2倍,我們把這條對角線叫做這個四邊形的黃金線,這個四邊形叫做黃金四邊形.
(1)如圖1,在四邊形ABCD中,AB=AD=DC,對角線AC,BD都是黃金線,且AB<AC,CD<BD,求四邊形ABCD各個內角的度數;
(2)如圖2,點B是弧AC的中點,請在⊙O上找出所有的點D,使四邊形ABCD的對角線AC是黃金線(要求:保留作圖痕跡);
(3)在黃金四邊形ABCD中,AB=BC=CD,∠BAC=30°,求∠BAD的度數.
【回答】
【解答】解:(1)∵在四邊形ABCD中,對角線AC是黃金線,
∴△ABC是等腰三角形,
∵AB<AC,
∴AB=BC或AC=BC,
①當AB=BC時,
∵AB=AD=DC,
∴AB=BC=AD=DC,
又∵AC=AC,
∴△ABC≌△ADC,
此種情況不符合黃金四邊形定義,
②AC=BC,
同理,BD=BC,
∴AC=BD=BC,易*得△ABD≌△DAC,△CAB≌△BDC,
∴∠DAC=∠DCA=∠ABD=∠ADB,∠BDC=∠BCD=∠CAB=∠CBA,
且∠DCA<∠DCB,
∴∠DAC<∠CAB
又由黃金四邊形定義知:∠CAB=2∠DAC,
設∠DAC=∠DCA=∠ABD=∠ADB=x°,
則∠BDC=∠BCD=∠CAB=∠CBA=2x°,
∴∠DAB=∠ADC=3x°,
而四邊形的內角和為360°,
∴∠DAB=∠ADC=108°,∠BCD=∠CBA=72°,
答:四邊形ABCD各個內角的度數分別為108°,72°,108°,72°.
(2)由題意作圖為:
(3)∵AB=BC,∠BAC=30°,
∴∠BCA=∠BAC=30°,∠ABC=120°,
ⅰ)當AC為黃金線時,
∴△ACD是等腰三角形,
∵AB=BC=CD,AC>BC,
∴AD=CD或AD=AC,
當AD=CD時,則AB=BC=CD=AD,
又∵AC=AC,
∴△ABC≌△ADC,如圖3,此種情況不符合黃金四邊形定義,
∴AD≠CD,
當AD=AC時,由黃金四邊形定義知,∠ACD=∠D=15°或60°,
此時∠BAD=180°(不合題意,捨去)或90°(不合題意,捨去);
ⅱ)當BD為黃金線時,
∴△ABD是等腰三角形,
∵AB=BC=CD,
∴∠CBD=∠CDB,
①當AB=AD時,△BCD≌△BAD,
此種情況不符合黃金四邊形定義;
②當AB=BD時,AB=BD=BC=CD,
∴△BCD是等邊三角形,
∴∠CBD=60°,
∴∠A=30°或120°(不合題意,捨去),
∴∠ABC=180°(不合題意,捨去),
此種情況也不符合黃金四邊形定義;
③當AD=BD時,設∠CBD=∠CDB=y°,則∠ABD=∠BAD=(2y)°或,
∵∠ABC=∠CBD+∠ABD=120°,
當∠ABD=2y°時,y=40,
∴∠BAD=2y=80°;
當時,y=80,
∴;
綜上所述:∠BAD的度數為40°,80°.
知識點:點和圓、直線和圓的位置關係
題型:解答題
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