如圖,C是⊙O上一點,點P在直徑AB的延長線上,⊙O的半徑為3,PB=2,PC=4.(1)求*:PC是⊙O的切...
問題詳情:
如圖,C是⊙O上一點,點P在直徑AB的延長線上,⊙O的半徑為3,PB=2,PC=4.
(1)求*:PC是⊙O的切線.
(2)求tan∠CAB的值.
【回答】
(1)見解析;(2)tan∠CAB=.
【分析】
(1)可以*OC2+PC2=OP2得△OCP是直角三角形,即OC⊥PC,PC是⊙O的切線;
(2)AB是直徑,得∠ACB=90°,通過角的關係可以*△PBC∽△PCA,進而,得出tan∠ACB=.
【詳解】
(1)如圖,連接OC、BC,
∵⊙O的半徑為3,PB=2,
∴OC=OB=3,OP=OB+PB=5,
∵PC=4,
∴OC2+PC2=OP2,
∴△OCP是直角三角形,
∴OC⊥PC,
∴PC是⊙O的切線.
(2)∵AB是直徑,
∴∠ACB=90°,
∴∠ACO+∠OCB=90°.
∵OC⊥PC,
∴∠BCP+∠OCB=90°,
∴∠BCP=∠ACO.
∵OA=OC,
∴∠A=∠ACO,
∴∠A=∠BCP.
在△PBC和△PCA中:
∠BCP=∠A,∠P=∠P,
∴△PBC∽△PCA,
∴===
∴tan∠CAB==
【點睛】
該題考查圓的相關知識和勾股定理逆定理、三角函數等內容,能*圖中相似三角形是解決問題的關鍵.
知識點:相似三角形
題型:解答題
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