某商場從生產廠家以每件20元的進價購進一批商品,若該商品的售價定為p元,則銷售量Q(單位:件)與零售價p(單位...
問題詳情:
某商場從生產廠家以每件20元的進價購進一批商品,若該商品的售價定為p元,則銷售量Q(單位:件)與零售價p(單位:元)有如下關係:Q=8 300-170p-p2.問該商品零售價定為多少時利潤最大,最大利潤是多少?
【回答】
解:設利潤為L(p),由題意可得
L(p)=(p-20)·Q=(p-20)(8 300-170p-p2)
=-p3-150p2+11 700p-166 000(p>0),
所以L′(p)=-3p2-300p+11 700.
令L′(p)=0,得p=30或p=-130(捨去).
則L(30)=23 000.
因為0<p<30時,L′(p)>0;p>30時,L′(p)<0,
所以p=30時,L(p)取得極大值.根據實際問題的意義知,L(30)就是最大值,即零售價定為每件30元時,利潤最大,最大利潤為23 000元.
知識點:導數及其應用
題型:解答題
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