如图,AB是⊙O的直径,点C,D分别在两个半圆上(不与点A、B重合),AD、BD的长分别是关于x的方程=0的两...
问题详情:
如图,AB是⊙O的直径,点C,D分别在两个半圆上(不与点A、B重合),AD、BD的长分别是关于x的方程=0的两个实数根.
(1)求m的值;
(2)连接CD,试探索:AC、BC、CD三者之间的等量关系,并说明理由;
(3)若CD=,求AC、BC的长.
【回答】
解:(1)由题意,得 b2-4ac≥0.
∴≥0.
化简整理,得 ≥0.··················· 2分
∴≤0,即≤0.·················· 3分
又∵≥0,
∴=5.······························· 4分
(2)AC+BC=CD.······················· 6分
理由是:如图,由(1),得 当m=5时,b2-4ac.
∴ AD=BD.······························ 7分
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=∠ADB=90°.
将△ADC绕点D逆时针旋转90°后,得△BDE.
∴△ADC≌△BDE.
∴∠DAC=∠DBE.
∵∠DAC+∠DBC=180°,
∴∠DBE+∠DBC=180°.
∴点C、B、E三点共线.
∴△CDE为等腰直角三角形.······················ 9分
∴CE=CD.
即AC+BC=CD.······················· 10分
(3)由(1),得 当m=5时,b2-4ac.
∴ AD=BD=5.
∵∠ACB=∠ADB=90°,
∴AB=10. 11分
∴AC2+BC2=102=100. ①····················· 11分
由(2)得,AC+BC=CD=7=14. ②··········· 12分
由① ②解得AC=6,BC=8或AC=8,BC=6.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题
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