我国南北朝时期的数学家祖暅(杰出数学家祖冲之的儿子),提出了计算体积的祖暅原理:“幂势既同,则积不容异.”意思...
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我国南北朝时期的数学家祖暅(杰出数学家祖冲之的儿子),提出了计算体积的祖暅原理:“幂势既同,则积不容异.”意思是:两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等.已知曲线:,直线为曲线在点处的切线.如图所示,*影部分为曲线、直线以及轴所围成的平面图形,记该平面图形绕轴旋转一周所得的几何体为.过作的水平截面,所得截面面积______(用表示),试借助一个圆锥,并利用祖暅原理,得出体积为______.
【回答】
【分析】
根据导数的几何意义求出直线的方程,利用两个圆的面积作差可得,将一个底面半径为,高为的圆锥的底面与几何体为的底面放在同一水平面上,可以计算得到该圆锥与几何体在所有等高处的水平截面的面积相等,再根据圆锥的体积公式可求得结果.
【详解】
由,得,所以直线的斜率,
所以直线的方程为,即,
所以.
将一个底面半径为,高为的圆锥的底面与几何体为的底面放在同一水平面上,则过的水平截面截圆锥所得截面的半径为,截面面积为,根据祖暅原理可知,该圆锥与几何体的体积相等,
所以几何体的体积为.
故*为:;.
【点睛】
本题考查了导数的几何意义,考查了祖暅原理,考查了圆锥的体积公式,属于中档题.
知识点:空间几何体
题型:填空题
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