矩形ABCD一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得点B落在CD边上的点P处.(1)如图①,已知折痕与边BC交...
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矩形ABCD一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得点B落在CD边上的点P处.
(1)如图①,已知折痕与边BC交于点O,连接AP,OP,OA.
① 求*:△OCP∽△PDA;
② 若△OCP与△PDA的面积比为14,求边AB的长.
(2)如图②,在(1)的条件下,擦去AO和OP,连接BP.动点M在线段AP上(不与点P,A重合),动点N在线段AB的延长线上,且BN=PM,连接MN交PB于点F,作ME⊥BP于点E.试问动点M,N在移动的过程中,线段EF的长度是否发生变化?若不变,求出线段EF的长度;若变化,说明理由.
【回答】
(1)①*:如图①,∵四边形ABCD是矩形,
∴∠C=∠D=∠B=90°,∴∠1+∠3=90°.
由折叠可得∠APO=∠B=90°,
∴∠1+∠2=90°.∴∠3=∠2.
又∵∠C=∠D,∴△OCP∽△PDA.
②解:∵△OCP与△PDA的面积比为14,且△OCP∽△PDA,
∴==.∴CP=AD=4.
设OP=x,则易得CO=8-x.
在Rt△PCO中,∠C=90°,
由勾股定理得 x2=(8-x)2+42.
解得x=5.
∴AB=AP=2OP=10.
(第25题)
(2)解:作MQ∥AN,交PB于点Q,如图②.
∵AP=AB,MQ∥AN,∴∠APB=∠ABP=∠MQP.
∴MP=MQ.又BN=PM,∴BN=QM.
∵MQ∥AN,∴∠QMF=∠BNF,∠MQF=∠FBN,
∴△MFQ≌△NFB.∴QF=FB.
∴QF=QB. [来源:学&科&网Z&X&X&K]
∵MP=MQ,ME⊥PQ,∴EQ=PQ.
∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB.
由(1)中的结论可得PC=4,BC=8,∠C=90°.
∴PB==4,∴EF=PB=2.
∴在(1)的条件下,点M,N在移动的过程中,线段EF的长度不变,它的长度恒为2.
知识点:特殊的平行四边形
题型:解答题
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