如图,二次函数y=﹣x2+x+3的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,点D在该抛物线上,且点D的横坐标为2...
问题详情:
如图,二次函数y=﹣x2+x+3的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,点D在该抛物线上,且点D的横坐标为2,连接BC、BD,设∠OCB=α,∠DBC=β,则cos(α﹣β)的值是( )
A. B. C. D.
【回答】
D【考点】抛物线与x轴的交点.
【分析】延长BD交y轴于P,根据三角形的外角的*质得到∠OPB=α﹣β,解方程﹣x2+x+3=0,求出点A的坐标和点B的坐标,根据二次函数图象上点的坐标特征求出点D的坐标,运用待定系数法求出直线BD的解析式,求出OP的长,根据勾股定理求出PB的长,根据余弦的概念解答即可.
【解答】解:延长BD交y轴于P,
∵∠OCB=α,∠DBC=β,
∴∠OPB=α﹣β,
﹣x2+x+3=0,
解得,x1=﹣1.2,x2=4,
∴点A的坐标为(﹣1.2,0),点B的坐标为(4,0),
x=0时,y=3,
∴点C的坐标为(0,3),
∵点D在该抛物线上,且点D的横坐标为2,
∴点D的纵坐标为4,
∴点D的坐标为(2,4),
设直线BD的解析式为:y=kx+b,
则,
解得,,
∴直线BD的解析式为:y=﹣2x+8,
∴OP=8,
PB==4,
∴cos(α﹣β)=cos∠OPB==,
故选:D.
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点的求法,正确运用一元二次方程的解法求出抛物线与x轴的交点是解题的关键,解答时,注意三角形的外角的*质的应用.
知识点:二次函数的图象和*质
题型:选择题
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