己知椭圆C:的左右焦点分别为F1,F2,直线l:y=kx+m与椭圆C交于A,B两点.O为坐标原点.(1)若直线...
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己知椭圆C:的左右焦点分别为F1,F2,直线l:y=kx+m与椭圆C交于A,B两点.O为坐标原点.
(1)若直线l过点F1,且|AB|=,求k的值;
(2)若以AB为直径的圆过原点O,试探究点O到直线AB的距离是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由。
【回答】
(1)因为直线l过点F1(-2,0),所以m=2k即直线l的方程为y=k(x+2).
设A(x1,y1),B(x2,y2).
联立 整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0.
∴ x1+x2=,x1x2=. 由弦长公式|AB|=,
代入整理得,解得k2=1.∴.
(2)设直线l方程y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).
联立整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0.
∴ x1+x2=,x1x2=. 以AB为直径的圆过原点O,即.
∴ x1x2+ y1y2=0.将y1=kx1+m,y2= kx2+m代入,整理得
(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0. 将x1+x2=,x1x2=代入,
整理得3m2=8k2+8.设点O到直线AB的距离为d,
于是d2=, 故O到直线AB的距离是定值为.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题
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