已知点M是椭圆C:=1(a>b>0)上一点,F1、F2分别为C的左、右焦点,|F1F2|=4,∠F1MF2=6...
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已知点M是椭圆C: =1(a>b>0)上一点,F1、F2分别为C的左、右焦点,|F1F2|=4,∠F1MF2=60°,△F1MF2的面积为
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设N(0,2),过点p(﹣1,﹣2)作直线l,交椭圆C异于N的A、B两点,直线NA、NB的斜率分别为k1、k2,*:k1+k2为定值.
【回答】
【考点】KH:直线与圆锥曲线的综合问题;K3:椭圆的标准方程.
【分析】(I)由余弦定理可得=|MF1|2+|MF2|2﹣2|MF1||MF2|cos60°,结合|F1F2|=2c=4,|MF1|+|MF2|=2a,求出a2,b2的值,可得椭圆C的方程;
(Ⅱ)当直线l的斜率存在时,设其方程为y+2=k(x+1),与出椭圆方程联立后,利用韦达定理,化简k1+k2可得定值;当直线l斜率不存在时,求出A,B两点坐标,进而求出k1、k2,综合讨论结果,可得结论.
【解答】解:(I)在△F1MF2中,由|MF1||MF2|sin60°=,得|MF1||MF2|=.
由余弦定理,得=|MF1|2+|MF2|2﹣2|MF1||MF2|cos60°=(|MF1|+|MF2|)2﹣2|MF1||MF2|(1+cos60°)
又∵|F1F2|=2c=4,|MF1|+|MF2|=2a
故16=4a2﹣16,
解得a2=8,故b2=a2﹣c2=4
故椭圆C的方程为
(Ⅱ)当直线l的斜率存在时,设其方程为y+2=k(x+1)
由,得(1+2k2)x2+4k(k﹣2)x+2k2﹣8k=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=,
从而k1+k2=+==2k﹣(k﹣4)=4. 11分
当直线l斜率不存在时,得A(﹣1,),B(﹣1,﹣)
此时k1+k2=4
综上,恒有k1+k2=4.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题
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