如图,正方形ADMN与矩形ABCD所在平面互相垂直,AB=2AD=6.(Ⅰ)若点E是AB的中点,求*:BM∥平...
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如图,正方形ADMN与矩形ABCD所在平面互相垂直,AB=2AD=6.
(Ⅰ)若点E是AB的中点,求*:BM∥平面NDE;
(Ⅱ)在线段AB上找一点E,使二面角D﹣CE﹣M的大小为时,求出AE的长.
【回答】
【考点】MT:二面角的平面角及求法;LS:直线与平面平行的判定.
【分析】(I)如图所示,连接AM交ND于点F,连接EF.利用正方形的*质可得AF=FM,利用三角形的中位线定理可得:EF∥BM.利用线面平行的判定定理可得:BM∥平面NDE.
(II)由DM⊥AD,利用面面垂直的*质定理可得:DM⊥平面ABCD,DM⊥DC.以DA,DC,DM所在直线分别作为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.设E(3,b,0),设平面MCE的法向量为=(x,y,z),则,解得.取平面ABCD的法向量=(0,0,1).根据二面角D﹣CE﹣M的大小为时,可得=,解出b即可.
【解答】(I)*:如图所示,连接AM交ND于点F,连接EF.
∵四边形ADMN是正方形,∴AF=FM,
又AE=EB,∴EF∥BM.
∵BM⊄平面NDE,EF⊂平面NDE,
∴BM∥平面NDE.
(II)解:由DM⊥AD,平面ADMN⊥平面ABCD,平面ADMN∩平面ABCD=AD,
∴DM⊥平面ABCD,∴DM⊥DC,又AD⊥DC.
以DA,DC,DM所在直线分别作为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.
设E(3,b,0),D(0,0,0),C(0,6,0),M(0,0,3).
=(3,b﹣6,0),=(0,﹣6,3).
设平面MCE的法向量为=(x,y,z),则,
取y=1,则z=2,x=.
∴=.
取平面ABCD的法向量=(0,0,1).
∵二面角D﹣CE﹣M的大小为时,∴ ==,
解得b=(0≤b≤6).
∴二面角D﹣CE﹣M的大小为时,AE=.
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题
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