今年3月我國北方地區遭遇了近10年來最嚴重的沙塵暴天氣．現把沙塵上揚後的情況簡化為如下情景：為豎直向上的風速，...

問題詳情：

今年3月我國北方地區遭遇了近10年來最嚴重的沙塵暴天氣．現把沙塵上揚後的情況簡化為如下情景：為豎直向上的風速，沙塵顆粒被揚起後懸浮在空中（不動）．這時風對沙塵的作用力相當於空氣不動而沙塵以速度豎直向下運動時所受的阻力．此阻力可用下式表達

其中為一系數，為沙塵顆粒的截面積，為空氣密度．

（1）若沙粒的密度 ，沙塵顆粒為球形，半徑，地球表面處空氣密度，，試估算在地面附近，上述的最小值．

（2）假定空氣密度隨高度的變化關係為，其中為處的空氣密度，為一常量，，試估算當時揚沙的最大高度．（不考慮重力加速度隨高度的變化）

【回答】

（1）在地面附近，沙塵揚起要能懸浮在空中，則空氣阻力至少應與重力平衡，即

                                                      ①

式中為沙塵顆粒的質量，而

                                         ②

                                      ③

得                                                       ④

代入資料得

                                    ⑤

（2）用、分別表示時揚沙到達的最高處的空氣密度和高度，則有

                                   ⑥

此時式①應為

                                    ⑦

由②、③、⑥、⑦可解得

                               ⑧

代入資料得

                                   ⑨

評分標準：本題15分。

1. 第一小題8分。其中①式3分，②式1分，③式1分，④式2分，⑤式1分。

2. 第二小題7分。其中⑥式1分，⑦式1分，⑧式3分，⑨式2分。

知識點：專題二 力與物體的直線運動

題型：計算題